[论文解读] On the Kodaira dimension of the moduli space of hyperelliptic curves with marked points

Irene Schwarz|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文计算了亏格 $g$、带有 $n$ 个标记点的稳定双椭圆曲线模空间 $¯{\mathcal{H}}_{g,n}$ 的典范除子类，证明当 $n = 4g+6$ 时其为有效类，当 $n \geq 4g+7$ 时为大类。该结果支持了如下猜想：在 $n = 4g+6$ 时 $¯{\mathcal{H}}_{g,n}$ 的 Kodaira 维数非负，而当 $n \geq 4g+7$ 时为一般型，该猜想后由 Barros 和 Mullane 在其后续论文中证明。

ABSTRACT

It is known that the moduli space $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ of genus $g$ stable hyperelliptic curves with $n$ marked points is uniruled for $n \leq 4g+5$. In this paper we consider the complementary case. We calculate the canonical divisor of $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ and show that it is effective for $n=4g+6$ and big for $n\leq 4g+7$. This leads us to conjecture that $\overline{\mathcal{H}}_{g,n}$ has non-negative Kodaira dimension for $n = 4g+6$ and is of general type for $n \geq 4g+7$.

研究动机与目标

• 确定带有 $n$ 个标记点的稳定双椭圆曲线模空间 $\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}$ 的双有理几何性质。
• 在有理 Chow 群 $\mathrm{CH}^1(\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}) \otimes \mathbb{Q}$ 中计算 $\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}$ 的典范除子类。
• 分析典范除子在 $n \leq 4g+5$ 的已知无理化结果的补集情形下何时为有效或大类。
• 为如下猜想提供证据：$¯{\mathcal{H}}_{g,n}$ 在 $n = 4g+6$ 时具有非负 Kodaira 维数，且当 $n \geq 4g+7$ 时为一般型。

提出的方法

• 利用塔陶洛吉类 $\psi_i$、$\eta_{i,S}$、$\delta_{i,S}$ 和 $\delta_{0,S}$ 推导堆栈 $\u00af{H}_{g,n}$ 的典范除子类。
• 通过加上类 $-\sum_{i=1}^g \delta_{i,\emptyset}$，将堆栈的典范类转化为粗模空间 $\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}$ 上的类。
• 使用除子 $W$，其为从 $\u00af{\mathcal{M}}_{g,g}$ 到 $\u00af{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的拉回的加权和，系数由二项式和导出。
• 将典范除子 $K_{\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}}$ 表示为线性组合 $\epsilon \psi + (1-\epsilon)W + E$，其中 $E$ 收集边界分量。
• 通过分析分解中每一项系数的符号，确定 $K_{\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}}$ 的有效性和大性。
• 应用 $\psi = \sum \psi_i$ 的正性及精确的系数估计，证明当 $n \geq 4g+7$ 时其为正，且在 $n = 4g+6$ 时为有效。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n > 4g+5$ 时，$\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}$ 的典范除子是否为有效或大类？
• RQ2 典范除子在 $\mathrm{CH}^1(\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}) \otimes \mathbb{Q}$ 中的精确类是什么？
• RQ3 典范除子能否分解为 $\psi$-类与有效边界除子的正组合？
• RQ4 典范除子的大性或有效性是否意味着非负 Kodaira 维数或一般型行为？
• RQ5 堆栈 $\u00af{H}_{g,n}$ 不光滑对典范除子计算有何影响？

主要发现

• 当 $n = 4g+6$ 时，典范除子 $K_{\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}}$ 为有效类。
• 当 $n \geq 4g+7$ 时，典范除子 $K_{\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}}$ 为大类。
• 当 $n = 4g+6$ 且 $\epsilon = 0$ 时，$K_{\u00af{\mathcal{H}}_{g,n}}$ 中 $\eta_0$ 的系数为零，表明其为有效性的临界点。
• 当 $n \geq 4g+7$ 且 $g \geq 2$ 时，$\delta_{0,\{1,\ldots,n\}}$ 的系数为正，有助于大性。
• 在典范除子分解中，所有 $\eta_{i,S}$ 和 $\delta_{i,S}$（$i \geq 1$）的系数均为正。
• 分解 $K = \epsilon \psi + (1-\epsilon)W + E$ 通过边界分量的显式符号分析，确认了 $K$ 的有效性和大性。