[论文解读] On the Kontsevich and the Campbell-Baker-Hausdorff deformation quantizations of a linear Poisson structure

Boris Shoikhet|ArXiv.org|Mar 6, 1999

Advanced Topics in Algebra被引用 8

一句话总结

本文构建了一个专门的 $L_∞$-同态 $\U_\text{lin}$，从具有线性系数的多向量场到多微分算子，直接证明了不含定向环的柯本-贝克-豪斯多夫（CBH）量化对应的部分——即柯本-贝克-豪斯多夫（CBH）量化——对线性泊松结构定义了一个结合性乘积。该结果通过形式几何方法，独立于CBH定理，证实了对任意角度映射，受限的柯本-贝克-豪斯多夫公式在结合性上成立。

ABSTRACT

For the Kirillov-Poisson structure on the vector space $\g^*$, where $\g$ is a finite-dimensional Lie algebra, it is known at least two canonical deformations quantization of this structure: they are the M. Kontsevich universal formula [K], and the formula, arising from the classical Campbell-Baker-Hausdorff formula [Ka]. It was proved in [Ka] that the last formula is exactly the part of Kontsevich's formula consisting of all the admissible graphs without (oriented) cycles between the vertices of the first type. It follows from the CBH-theorem that this part of Kontsevich's formula defines an associative product (in the case of a linear Poisson structure). The aim of these notes is to prove the last result directly, using the methods analogous to [K] instead of the CBH-formula. We construct an $L_\infty$-morphism $\U_\lin\colon[T^ dot_\poly]_\lin o D^ dot_\poly$ from the \dg Lie algebra of polyvector fields with linear coefficients to the \dg Lie algebra of polydifferential operators, which is not equal to the restriction of the Formality $L_\infty$-morphism $\U\colon T^ dot_\poly o D^ dot_\poly$ [K] to the subalgebra $[T^ dot_\poly]_\lin$. For a bivector field $α$ with linear coefficients such that $[α,α]=0$ the corresponding solution $\U_\lin(α)$ of the Maurer-Cartan equation in $D^ dot_\poly$ defines exactly the CBH-quantization,in the case of the harmonic angle map [K], Sect.2.We prove the associativity of the restricted Kontsevich formula (in the linear case) also for any angle map [K], Sect.6.2.

研究动机与目标

• 提供柯本-贝克-豪斯多夫（CBH）量化公式在不依赖CBH定理的前提下，对线性泊松结构的结合性直接证明。
• 构建一个从具有线性系数的多向量场的微分格李代数到多微分算子的微分格李代数的 $L_\infty$-同态 $\U_\text{lin}$，该同态不同于柯本-贝克-豪斯多夫普遍形式同态的限制。
• 证明对于满足 $[\alpha,\alpha]=0$ 的线性二阶张量场 $\alpha$，解 $\U_\text{lin}(\alpha)$ 恰好给出CBH量化公式。
• 将结合性的证明推广至任意角度映射，而不仅限于柯本-贝克-豪斯多夫原始工作中考虑的调和角度映射。

提出的方法

• 构造一个专为线性多向量场和多微分算子设计的新 $L_\infty$-同态 $\U_\text{lin}$。
• 利用形式几何方法，关注柯本-贝克-豪斯多夫公式中第一类顶点之间不含定向环的可接受图结构。
• 在多微分算子的微分格李代数中应用Maurer-Cartan方程，以定义量化乘积。
• 证明所得乘积与李代数对偶 $\g^*$ 上基灵-泊松结构的CBH公式完全一致。
• 采用与柯本-贝克-豪斯多夫形式同态定理类似的技术，避免显式使用CBH展开式。
• 验证该构造对任意角度映射均成立，将结果推广至调和角度映射之外的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 柯本-贝克-豪斯多夫（CBH）量化公式在不依赖CBH定理的前提下，能否对线性泊松结构实现结合性的直接证明？
• RQ2 是否存在一个 $L_\infty$-同态 $\U_\text{lin}$，其限制于柯本-贝克-豪斯多夫形式同态的线性结构时，能重现CBH公式？
• RQ3 排除含定向环的图后，受限的柯本-贝克-豪斯多夫公式是否对线性泊松结构定义了一个结合性乘积？
• RQ4 受限的柯本-贝克-豪斯多夫公式在结合性上是否对任意角度映射均成立，而不仅限于调和角度映射？
• RQ5 同态 $\U_\text{lin}$ 与柯本-贝克-豪斯多夫普遍形式同态在限制到线性多向量场时有何不同？

主要发现

• $L_\infty$-同态 $\U_\text{lin}$ 被显式构造，且不等于柯本-贝克-豪斯多夫普遍形式同态在线性子代数上的限制。
• 对于满足 $[\alpha,\alpha]=0$ 的线性二阶张量场 $\alpha$，解 $\U_\text{lin}(\alpha)$ 恰好给出CBH量化公式。
• 仅包含第一类顶点之间无定向环的可接受图的受限柯本-贝克-豪斯多夫公式，在 $\g^*$ 上定义了一个结合性乘积。
• 该乘积的结合性对任意角度映射均成立，而不仅限于调和角度映射，该结论通过 $L_\infty$-同态构造得以证明。
• 该证明是直接且形式化的，采用与柯本-贝克-豪斯多夫方法类似的技巧，未依赖经典CBH展开式。