[论文解读] On the Korn interpolation and second inequalities for shells with non-constant thickness

Davit Harutyunyan|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 1

一句话总结

该论文在无需边界或归一化条件的前提下，为具有非恒定厚度的薄壳中的向量场建立了渐近最优的Korn插值不等式与第二类不等式。常数随厚度 $ h \to 0 $ 时按 $ h $ 缩放，首次对 $ \mathbb{R}^3 $ 中一般薄域的经典Korn第二不等式最优常数给出了完整的渐近表征，其中Korn插值不等式使得梯度估计可简化为对场本身满足Poincaré型界的形式。

ABSTRACT

We consider shells of non-constant thickness in three dimensional Euclidean space around surfaces which have bounded principal curvatures. We derive Korn's interpolation (or the so called first and a half (The inequality first introduced in [Gra.Har.1])) and second inequalities on that kind of domains for $\Bu\in H^1$ vector fields, imposing no boundary or normalization conditions on $\Bu.$ The constants in the estimates are asymptotically optimal in terms of the domain thickness $h,$ with the leading order constant having the scaling $h$ as $h o 0.$ This is the first work that determines the asymptotics of the optimal constant in the classical Korn second inequality for shells in terms of the domain thickness in almost full generality, the inequality being fulfilled for practically all thin domains $\Omega\in\mathbb R^3$ and all vector fields $\Bu\in H^1(\Omega).$ Moreover, the Korn interpolation inequality is stronger than Korn's second inequality, and it reduces the problem of estimating the gradient $ abla\Bu$ in terms of the symmetrized gradient $e(\Bu)$, in particular any linear geometric rigidity estimates for thin domains, to the easier problem of proving the corresponding Poincare-like estimates on the field $\Bu$ itself.

研究动机与目标

• 在 $ \mathbb{R}^3 $ 中的非恒定厚度薄壳上，为向量场建立Korn的插值不等式与第二类不等式，且不对向量场施加边界或归一化条件。
• 确定经典Korn第二不等式中最优常数在域厚度 $ h \to 0 $ 时的渐近行为，以 $ h $ 表示。
• 将Korn型不等式的适用范围扩展至包括非均匀厚度与有界主曲率的广泛薄域类。
• 证明Korn插值不等式相较于第二类不等式提供了更强的框架，可将 $ \nabla \mathbf{u} $ 的估计简化为对 $ \mathbf{u} $ 本身的Poincaré型估计。
• 首次在一般性上实现对这类域中主导常数的渐近最优性，其缩放为 $ h $。

提出的方法

• 通过分析对称梯度 $ e(\mathbf{u}) $ 与全梯度 $ \nabla \mathbf{u} $ 之间的关系，结合薄壳的几何结构，推导出Korn插值不等式。
• 应用几何分析与函数不等式的技术，以 $ \|e(\mathbf{u})\|_{L^2} $ 表示 $ \|\nabla \mathbf{u}\|_{L^2} $，且无需归一化或边界约束。
• 利用壳体中曲面的黎曼几何结构，假设主曲率有界，以控制由曲率引起的形变。
• 采用 $ h \to 0 $ 时的渐近分析，确定Korn第二不等式中最优常数的主导阶缩放，表明其按 $ h $ 缩放。
• 通过Korn插值不等式作为桥梁，将全梯度估计问题转化为对向量场 $ \mathbf{u} $ 证明Poincaré型不等式的问题。
• 通过构造测试场并与文献中已知的下界比较，证明了 $ h $-缩放的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非恒定厚度的薄壳，经典Korn第二不等式中最优常数的渐近行为是什么？
• RQ2 是否可在无需边界或归一化条件的情况下，为薄壳中的向量场建立Korn插值不等式？
• RQ3 在 $ h \to 0 $ 的极限下，Korn第二不等式中最优常数的缩放如何依赖于厚度 $ h $ ？
• RQ4 Korn插值不等式在多大程度上可简化薄域中几何刚性分析？
• RQ5 对于具有有界主曲率的一般薄壳，Korn第二不等式中主导常数的 $ h $-缩放是否渐近最优？

主要发现

• 在无需边界或归一化条件的前提下，为非恒定厚度薄壳上的 $ \mathbf{u} \in H^1 $ 向量场建立了Korn插值不等式。
• Korn第二不等式中最优常数在 $ h \to 0 $ 时渐近按 $ h $ 缩放，且该缩放被证明是渐近最优的。
• Korn插值不等式将 $ \nabla \mathbf{u} $ 关于 $ e(\mathbf{u}) $ 的估计问题简化为对 $ \mathbf{u} $ 本身的Poincaré型估计，从而简化了几何刚性分析。
• 结果适用于 $ \mathbb{R}^3 $ 中广泛的一类薄域，包括非均匀厚度与有界主曲率的域。
• 这是首次在近乎完全一般性下确定此类域中经典Korn第二不等式最优常数的渐近行为的工作。
• Korn第二不等式中主导常数实现了 $ h $-缩放，证实了在 $ h \to 0 $ 的极限下不可能存在更优的缩放。