[论文解读] On the Krull dimension of rings of semialgebraic functions

José F. Fernando, J. M. Gamboa|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 22被引用 10

一句话总结

该论文证明了在实闭域上，半代数集 M 上连续半代数函数环及其有界子环的 Krull 维数等于 M 本身的维数。通过引入素理想的‘半代数深度’这一新概念，作者提供了一种初等的几何证明——避免使用实谱理论——表明在点 p ∈ M 处极大理想的的高度等于 M 在该点的局部维数，且对于 z-理想，其半代数深度等于商域在实闭域 R 上的超越次数。

ABSTRACT

Let $R$ be a real closed field and let ${\mathcal S}(M)$ be the ring of (continuous) semialgebraic functions on a semialgebraic set $M\subset R^n$ and let ${\mathcal S}^*(M)$ be its subring of bounded semialgebraic functions. In this work we introduce the concept of \em semialgebraic depth \em of a prime ideal $\gtp$ of ${\mathcal S}(M)$ in order to provide an elementary proof of the finiteness of the Krull dimension of the rings ${\mathcal S}(M)$ and ${\mathcal S}^*(M)$, inspired in the classical way of doing to compute the dimension of a ring of polynomials on a complex algebraic set and without involving the sophisticated machinery of real spectra. We also show that $\dim{\mathcal S}(M)=\dim{\mathcal S}^*(M)=\dim M$ and we prove that in both cases the height of a maximal ideal corresponding to a point $p\in M$ coincides with the local dimension of $M$ at $p$. In case $\gtp$ is a prime \em $z$-ideal \em of ${\mathcal S}(M)$, its semialgebraic depth coincides with the transcendence degree over $R$ of the real closed field $\qf({\mathcal S}(M)/\gtp)$.

研究动机与目标

• 建立实闭域上半代数集上连续半代数函数环的有限 Krull 维数。
• 证明此类环的 Krull 维数等于其基半代数集 M 的维数。
• 提供一种不依赖实谱复杂理论的初等维数有限性证明。
• 以 M 在点处的局部维数来刻画极大理想的的高度。
• 将 z-理想 的半代数深度与商域在 R 上的超越次数联系起来。

提出的方法

• 引入半代数函数环中素理想的‘半代数深度’概念，作为在缺乏零集可度量性时的代数维数替代。
• 利用 [0,1]^d 到 M 的半代数嵌入，构造函数环中素理想的链。
• 对嵌入的子流形 T，应用从 S(M) 到 S(T) 的限制同态，将 T 上的素理想链上拉至 M。
• 利用 M 的紧化来扩展理想链，并将其与更大半代数集中的理想关联。
• 利用 f1|X ∈ P0' 的事实（当 f1f2 ≡ 0 且 f2(p) ≠ 0 时）通过零集来界定理想深度。
• 依赖于 [DK1] 中已建立的 M 的紧化 X 上从 S(X) 到 S(T) 的限制映射的满射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在实闭域上，半代数集 M 上连续半代数函数环的 Krull 维数是多少？
• RQ2 S(M) 或 S*(M) 的 Krull 维数与 M 的拓扑维数有何关系？
• RQ3 是否可以在不使用实谱或高级模型论工具的情况下计算 Krull 维数？
• RQ4 在点 p ∈ M 处，极大理想的高度与 M 在该点的局部维数之间有何关系？
• RQ5 z-理想 的半代数深度与商域在 R 上的超越次数有何关系？

主要发现

• S(M) 和 S*(M) 的 Krull 维数均为有限，且等于半代数集 M 的维数。
• S*(M) 中对应于点 p ∈ M 的极大理想 mp 的高度等于 M 在点 p 处的局部维数。
• 对于 S(M) 中的 z-理想 p，p 的半代数深度等于商域 qf(S(M)/p) 在 R 上的超越次数。
• 该证明避免使用实谱，转而通过半代数嵌入和紧化进行几何构造。
• 通过从 [0,1]^d 到 M 的限制构造的素理想链，为 Krull 维数提供了下界，而该下界由深度论证给出了上界。
• 半代数深度函数提供了一个几何不变量，用于控制 S(M) 和 S*(M) 中素理想链的长度。