[论文解读] On the $L^p$-Convergence and Denoising Performance of Durrmeyer-Type Max-Min Neural Network Operators

Berke Şahin, İsmail Aslan|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2026

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一句话总结

本文给出 Durrmeyer-type 的最大-最小神经网络算子的一般化，证明其在 L^p 空间中的收敛性，给出收敛速率，并在平滑化与去噪性能上优于 Kantorovich-type 与标准最大-最小算子。

ABSTRACT

In this paper, we investigate Durrmeyer-type generalizations of maximum-minimum neural network operators. The primary objective of this study is to establish the convergence of these operators in the $L^{p}$ norm for functions $f\in L^{p}([a,b],[0,1])$ with $1\leq p<\infty$. To this end, we analyze the properties of sigmoidal functions and maximum-minimum operations, subsequently establishing the convergence of the proposed operator in pointwise, supremum, and $L^{p}$ norms. Furthermore, we derive quantitative estimates for the rates of convergence. In the applications section, numerical and graphical examples demonstrate that the proposed Durrmeyer-type operators provide smoother approximations compared to Kantorovich-type and standard max-min operators. Finally, we highlight the superior filtering performance of these operators in signal analysis, validating their effectiveness in both approximation and data processing tasks.

研究动机与目标

• 在近似理论中动机化并研究非线性、非均质的神经网络算子。
• 引入 Kantorovich-type 最大-最小算子的 Durrmeyer-type 一般化，并分析其在 L^p 空间中的收敛性。
• 建立逐点、上确界与 L^p 收敛性及其定量速率估计。
• 通过数值实验展示 Durrmeyer-type 算子在平滑化与去噪方面的优势。
• 评估其在信号分析中的滤波性能，并与相关算子进行比较。

提出的方法

• 给出 Durrmeyer-type 最大-最小神经网络算子并通过分母下界与正性性质确保其良定义性。
• 证明在 [a,b] 上连续函数的逐点收敛及对齐性上界的收敛（sup-norm 收敛）。
• 将收敛性扩展至 L^p (1 ≤ p < ∞) 空间，并给出定量的收敛速率。
• 利用模量连续性、广义矩以及 K-函数框架推导速率估计。
• 给出数值与图形比较，显示与 Kantorovich-type 与标准最大-最小算子相比更平滑的近似。
• 在信号（包括带盐噪声的语音）上演示更优的滤波性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 Durrmeyer-type 最大-最小神经网络算子在 L^p (1 ≤ p < ∞) 中是否收敛到目标函数 f？
• RQ2 在 L^p 中的收敛速率如何，且如何依赖于光滑性（模量连续性）及核的性质？
• RQ3 在实际应用中，Durrmeyer-type 最大-最小算子的平滑与去噪/滤波能力与 Kantorovich-type 与标准最大-最小算子相比如何？
• RQ4 这些算子有哪些基本性质（连续性、单调性、次线性）以支持收敛与稳定性？
• RQ5 理论结果是否可以通过 Durrmeyer 框架推广到加权或更广泛的函数类？

主要发现

• Durrmeyer-type 最大-最小算子对 [a,b] 上的 L^p 函数在逐点与 L^p 范式下收敛到 f。
• 利用模量连续性和广义矩给出定量的收敛速率，揭示近似速度。
• 数值与图形实验显示 Durrmeyer-type 算子比 Kantorovich-type 与标准最大-最小算子具有更平滑的近似。
• 在信号分析中的滤波性能更优，包括对带盐噪声的语音信号的去噪。
• 理论结果依赖核函数与 S 型激活函数的性质，确保核的正性、和为 1 以及核的渐近衰减。