[论文解读] On the $L^p$-estimates of Riesz transforms on forms over complete Riemanian manifolds

Xiang‐Dong Li|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2013

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文修正了在完备黎曼流形上微分形式上的Riesz变换概率表示中的一个漏洞，建立了时间反演的鞅变换公式，并在曲率条件下将$L^p$-范数估计从欧几里得向量丛上的Riesz变换中推广。关键结果是通过鞅不等式和曲率控制的随机平行移动，获得了关于$p>1$的无维数$L^p$界，且对$p$具有精确依赖关系。

ABSTRACT

In our previous paper \cite{Li2010}, we proved a martingale transform representation formula for the Riesz transforms on forms over complete Riemannian manifolds, and proved some explicit $L^p$-norm estimates for the Riesz transforms on complete Riemannian manifolds with suitable curvature conditions. In this paper we correct a gap contained in \cite{Li2010} and prove that the main result obtained in \cite{Li2010} on the $L^p$-norm estimates for the Riesz transforms on forms remain valid. Moreover, we prove a time reversal martingale transform representation formula for the Riesz transforms on forms. Finally, we extend our approach and result to the Riesz transforms acting on Euclidean vector bundles over complete Riemannian manifolds with suitable curvature conditions.

研究动机与目标

• 修正Bañuelos与Baudoin所识别出的在完备黎曼流形上微分形式上的Riesz变换概率表示中的漏洞。
• 为形式上的Riesz变换建立时间反演鞅变换表示。
• 在曲率条件下，将Riesz变换的$L^p$-范数估计从欧几里得向量丛上的形式推广至完备黎曼流形。
• 为$d(a + \boxdot_{\text{F},\text{\textbackslash phi}})^{-1/2}$和$d_{\text{\textbackslash phi}}^{*}(a + \boxdot_{\text{F},\text{\textbackslash phi}})^{-1/2}$提供无维数的$L^p$界，明确其对$p$的依赖关系。

提出的方法

• 利用时间反演的随机过程和自适应随机积分，推导出Riesz变换的修正鞅变换表示。
• 应用修正后的表示，通过鞅不等式推导出$L^p$-范数估计，特别利用了Bañuelos与Baudoin的不等式。
• 使用随机平行移动$U_t$和沿$L$-扩散过程$X_t$的曲率控制演化$M_{t,k}$来建模Riesz变换的作用。
• 引入泊松半群$Q_a\omega(x,y) = e^{-y\sqrt{a + \square_{\phi}}}\omega(x)$，在概率框架中表示预解算子。
• 应用对偶性论证，将结果从$d(a + \square_{\phi})^{-1/2}$扩展到其在向量丛上的伴随算子$d_{\phi}^{*}(a + \square_{\phi})^{-1/2}$。
• 在曲率假设$W_i + d\Lambda^i\nabla^2\phi \geq -a$（$i = k \pm 1$）下建立界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否修正完备黎曼流形上形式上的Riesz变换的概率表示，以解决原始公式中非自适应性的问题？
• RQ2 在曲率条件下，修正后的鞅表示是否能允许有效的$L^p$-范数估计？
• RQ3 该方法能否推广至具有非平凡联络和曲率的欧几里得向量丛上的Riesz变换？
• RQ4 对$p$的$L^p$-界常数的精确依赖关系是什么，尤其是在$p=1$和$p=\infty$附近？

主要发现

• 在修正概率表示公式后，[4]中关于形式上Riesz变换的$L^p$-范数估计的主要结果依然成立。
• 为$R_a^1(\square_\phi)$和$R_a^2(\square_\phi)$建立了时间反演鞅变换表示，解决了原始漏洞。
• 对于$p>1$，$d^F(a + \square_{F,\phi})^{-1/2}\omega$的$L^p$-范数被界为$C_p \|A\| \|\omega\|_p$，其中当$p=2$时$C_p = \|A\|^{-1}$。
• 常数$C_p$满足当$p \to 1^+$和$p \to \infty$时$C_p = O((p^*-1)^{3/2})$，表明在端点附近具有精确增长。
• 结果可推广至具有平坦联络和曲率控制的Witten拉普拉斯算子的欧几里得向量丛上的Riesz变换，条件为$W_i + d\Lambda^i\nabla^2\phi \geq -a$。
• $L^p$-界为无维数，并且仅依赖于$p$和联络诱导的自伴算子$A$的算子范数$\|A\|$。