[论文解读] On the Langlands parameter of a simple supercuspidal representation: odd orthogonal groups

Moshe Adrian|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用 9

一句话总结

本论文通过 Rankin-Selberg 积分与函数方程，计算了奇正交群在 p 进域上简单超临界表示的扭曲 gamma 因子。它预测了此类表示的 Langlands 参数，并在深度保持猜想成立且 p 足够大的条件下，证明该参数为从二次扩张诱导的特征标，与相应 GL(2ℓ) 表示的已知参数一致。

ABSTRACT

In this work, we explicitly compute a certain family of twisted gamma factors of a simple supercuspidal representation $π$ of a $p$-adic odd orthogonal group. These computations, together with analogous computations for general linear groups carried out in previous work with Liu, allow us to give a prediction for the Langlands parameter of $π$. If we assume the "depth-preserving conjecture", we prove that our prediction is correct if $p$ is sufficiently large.

研究动机与目标

• 使用 gamma 因子确定 SO_{2ℓ+1}(F) 上简单超临界表示 π 的 Langlands 参数。
• 将 gamma 因子计算方法从 GL_n 扩展至经典群，特别是奇正交群。
• 在深度保持猜想下，验证所预测的 Langlands 参数与 GL_{2ℓ} 上相应表示的已知参数一致。
• 建立 π 的 gamma 因子与 GL_{2ℓ} 上具有平凡中心特征标的简单超临界表示的 gamma 因子之间的联系。

提出的方法

• 计算 Whittaker 函数 W 与诱导表示的全纯截面 f_s 的 Rankin-Selberg 积分 Φ(W, f_s) 及其归一化对偶 Φ*(W, f_s)。
• 应用包含 gamma 因子 γ(s, π × τ, ψ) 的函数方程，将 Φ(W, f_s) 与 Φ*(W, f_s) 关联起来，其中 τ 为 GL_1 的驯服分歧字符。
• 通过 Whittaker 函数与 intertwining 算子的显式计算评估积分，特别关注在双陪集中的支集与分解。
• 将计算得到的 gamma 因子 γ(s, π_χ^ζ × τ, ψ) 与 GL_{2ℓ} 上已知的简单超临界表示 σ_χ^ζ 的 gamma 因子进行匹配，对所有驯服分歧的 τ 成立。
• 基于深度与参数的不可约性，利用深度保持猜想推导出 π_χ^ζ 的 Langlands 参数必为 Ind_{W_E}^{W_F} ξ。
• 依赖 [AL14] 中已知结果：σ_χ^ζ 的 Langlands 参数为 Ind_{W_E}^{W_F} ξ，从而得出 π_χ^ζ 的参数亦为该形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 SO_{2ℓ+1}(F) 上简单超临界表示的 Langlands 参数是什么？
• RQ2 SO_{2ℓ+1} 上的表示 π 的扭曲 gamma 因子 γ(s, π × τ, ψ) 与 GL_{2ℓ} 上表示的 gamma 因子有何比较？
• RQ3 深度保持猜想是否意味着 π 的 Langlands 参数为从二次扩张诱导的特征标？
• RQ4 Rankin-Selberg 积分的函数方程能否用于确定 π 到 GL_{2ℓ} 的函子提升的等标成分？
• RQ5 对 π 所预测的 Langlands 参数是否与对应 GL_{2ℓ} 上表示的已知参数一致？

主要发现

• 通过 Rankin-Selberg 积分与 Whittaker 函数支集分析，显式计算了 SO_{2ℓ+1} 上 π_χ^ζ 与 GL_1(F) 上驯服分歧字符 τ 的扭曲 gamma 因子 γ(s, π_χ^ζ × τ, ψ)。
• 计算得到的 gamma 因子与 GL_{2ℓ} 上具有平凡中心特征标的简单超临界表示 σ_χ^ζ 的 gamma 因子完全一致。
• 函数方程给出 Φ*(W, f_s) = q^{1/2 - s} τ(−ϖ) · vol(1 + 𝔪)^{ℓ−1} χ_ζ(g_χ) · vol(𝔪)^{ℓ−1} 乘以一个常数，显示出对 s 与 τ 的显式依赖。
• 在深度保持猜想成立且 p 足够大的条件下，π_χ^ζ 的 Langlands 参数被唯一确定为 Ind_{W_E}^{W_F} ξ。
• 证明了参数 Ind_{W_E}^{W_F} ξ 是不可约的，且深度为 1/(2ℓ)，与 π_χ^ζ 的深度一致。
• 结果确认了 π_χ^ζ 到 GL_{2ℓ}(F) 的函子提升为具有平凡中心特征标的简单超临界表示，即 σ_χ^ζ。