[论文解读] On the Laplace-Beltrami operator on compact complex spaces

Francesco Bei|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用 3

一句话总结

本论文为复维数 $v > 1$ 的紧致、不可约的厄米特复空间上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子与霍奇-科达尔拉普拉斯算子，建立了离散谱和迹类热核性质。通过索博列夫嵌入与谱估计，证明了特征值增长界 $\lambda_k k^{-1/v} \to \infty$ 与热迹衰减 $\operatorname{Tr}(e^{-t\Delta^\mathcal{F}}) \leq C t^{-v}$，并将结果推广至复曲面上的 $L^2$-上同调与 $\overline{\partial}$-算子。

ABSTRACT

Let $(X,h)$ be a compact and irreducible Hermitian complex space of complex dimension $v>1$. In this paper we show that the Friedrichs extension of both the Laplace-Beltrami operator and the Hodge-Kodaira Laplacian acting on functions has discrete spectrum. Moreover we provide some estimates for the growth of the corresponding eigenvalues and we use these estimates to deduce that the associated heat operators are trace-class. Finally we give various applications to the Hodge-Dolbeault operator and to the Hodge-Kodaira Laplacian in the setting of Hermitian complex spaces of complex dimension $2$.

研究动机与目标

• 在复维数 $v > 1$ 的紧致、不可约厄米特复空间上，建立拉普拉斯-贝尔特拉米算子的自伴弗里德里希斯扩张并证明其具有离散谱。
• 推导此类空间上拉普拉斯-贝尔特拉米算子与霍奇-科达尔拉普拉斯算子的特征值增长的渐近估计。
• 证明相关热算子为迹类算子，并给出以体积与维数表示的显式衰减估计。
• 将谱结果推广至具有奇点的复曲面上的 $\overline{\partial}$-拉普拉斯算子与 $L^2$-上同调。

提出的方法

• 证明索博列夫嵌入定理：当 $v > 1$ 时，有 $W^{1,2}(\operatorname{reg}(X),h) \hookrightarrow L^{2v/(v-1)}(\operatorname{reg}(X),h)$。
• 利用弗里德里希斯扩张，在 $L^2(\operatorname{reg}(X),h)$ 上构造拉普拉斯-贝尔特拉米算子的自伴实现。
• 通过索博列夫理论与谱论，建立特征值增长估计 $\liminf \lambda_k k^{-1/v} > 0$。
• 应用热核迹估计 $\operatorname{Tr}(e^{-t\Delta^\mathcal{F}}) \leq C \cdot \operatorname{vol}_h(\operatorname{reg}(X)) \cdot t^{-v}$，其中 $0 < t \leq 1$。
• 利用对偶性与 $\overline{\partial}$-复形理论，将结果推广至 $(0,q)$-形式上的 $\overline{\partial}$-拉普拉斯算子。
• 对复维数为2的情形，推导 $L^2\Omega^{0,q}(\operatorname{reg}(X),h)$ 上热算子的迹类估计，其衰减率为 $t^{-2}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复维数 $v > 1$ 的紧致、不可约厄米特复空间上，拉普拉斯-贝尔特拉米算子是否允许具有离散谱的自伴扩张？
• RQ2 此类空间上拉普拉斯-贝尔特拉米算子与霍奇-科达尔拉普拉斯算子的特征值的渐近增长速率为何？
• RQ3 相关热算子是否为迹类算子，且其迹能否以 $t$ 与体积为变量进行一致有界？
• RQ4 $(0,q)$-形式上的 $\overline{\partial}$-拉普拉斯算子的谱性质与函数上的谱性质有何关联？
• RQ5 能否通过 $L^2$-上同调与热核迹，将麦科恩-辛格公式推广至奇异复曲面？

主要发现

• 在复维数 $v > 1$ 的紧致、不可约厄米特复空间上，$\operatorname{reg}(X)$ 上拉普拉斯-贝尔特拉米算子的弗里德里希斯扩张具有离散谱。
• 拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征值 $\lambda_k$ 满足 $\liminf \lambda_k k^{-1/v} > 0$，当 $k \to \infty$ 时成立。
• 热算子 $e^{-t\Delta^\mathcal{F}}$ 为迹类算子，其迹满足 $\operatorname{Tr}(e^{-t\Delta^\mathcal{F}}) \leq C \cdot \operatorname{vol}_h(\operatorname{reg}(X)) \cdot t^{-v}$，其中 $0 < t \leq 1$。
• 对于函数上的霍奇-科达尔拉普拉斯算子，其弗里德里希斯扩张具有离散谱，并满足相同的特征值增长与迹估计。
• 在复曲面上，$(0,q)$-形式上 $q = 0,1,2$ 的 $\overline{\partial}$-拉普拉斯算子具有离散谱，且其热核为迹类算子，满足 $\operatorname{Tr}(e^{-t\Delta_{\overline{\partial},0,q}^\mathcal{F}}) \leq C_q t^{-2}$，其中 $t \in (0,1]$。
• 麦科恩-辛格公式成立：$\chi(M,\mathcal{O}_M) = \sum_{q=0}^2 (-1)^q \operatorname{Tr}(e^{-t\Delta_{\overline{\partial},0,q,\operatorname{rel}}})$，将欧拉示性数与解析解的热迹联系起来。