[论文解读] On the large values of the Riemann zeta-function on the critical line - II

Maxim Aleksandrovich Korolev|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文在Riemann假设下，针对短区间 [T, T+H] 上 |ζ(1/2 + it)| 的最大值，建立了新的条件性下界。利用Selberg的卷积公式以及对快速递减函数的傅里叶变换的精细估计，证明了当 H ≥ (ln ln ln T)^{1+ε} 时，F(T;H) = max_{|t−T|≤H} |ζ(1/2+it)| 的增长速度超过 log H 的任意次幂，且给出了依赖于 H 和 T 的显式指数型与双指数型下界。

ABSTRACT

We prove some new bounds for the maximum of Riemann zeta-function on very short segments of the critical line. All the theorems are based on the Riemann hypothesis.

研究动机与目标

• 在 H ≥ (ln ln ln T)^{1+ε} 的条件下，建立临界线上短区间内 |ζ(1/2 + it)| 最大值的改进下界。
• 解决Karatsuba提出的一个条件性问题：当 H 显著小于 ln ln T 时，F(T;H) ≥ 1 是否成立。
• 拓展先前结果，提供显式且非平凡的下界，即使 H 在 T 中为次对数级，其下界仍随 H 增长。
• 发展并应用关于快速递减函数的傅里叶变换衰减速率的新估计，以优化 zeta 函数极值的分析。

提出的方法

• 利用Selberg的卷积公式，将 zeta 函数的对数与素数和零点之和联系起来，从而获得 zeta 函数平均值的积分表示。
• 应用 K.-M. Tsang 的关键引理，控制权函数 W(t) 的 L2k-范数，使其与 |ζ(1/2+it)| 的最大值相关联。
• 提出对特定快速递减函数 Φ(u) = exp(−(cosh√u + cos√u)) 的傅里叶变换的新估计，其衰减速率与该函数傅里叶变换的最小正根相关。
• 引入变分法以优化卷积公式中的测试函数 f(u)，从而最小化达到给定下界所需的 H。
• 利用Riemann假设确保所有非平凡零点位于临界线上，这对谱分解及证明中的误差控制至关重要。
• 应用渐近分析与隐函数求解方法，确定边界构造中最佳参数（如 τ₀），从而导出以 H 和 T 表示的显式增长率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 H ≫ (ln ln ln T)^{1+ε} 的范围，|ζ(1/2 + it)| 在 [T, T+H] 上的最大值何时增长快于 log H 的任意次幂？
• RQ2 当 H 小至 (ln ln ln T)^{1+ε} 时，F(T;H) 的下界能否提升至双指数或超指数增长速率？
• RQ3 在 Riemann 假设下，当 H ∈ [(ln ln T)^{1/(2m)}, ln ln T] 时，下界对 H 的最优依赖关系为何？
• RQ4 能否通过特定核函数 Φ(u) = exp(−(cosh√u + cos√u)) 的谱性质来量化 F(T;H) 的增长速率？
• RQ5 Φ(u) 的傅里叶变换的最小正根如何影响 F(T;H) 的最佳可能下界？

主要发现

• 当 H ≥ (ln ln ln T)^{1+ε} 时，论文证明 F(T;H) > exp(0.5 exp((ln ln H)^{0.5ε}))，即得到一个双指数型下界。
• 当 H ≥ (ln ln ln T)^{2+ε} 时，F(T;H) > exp(√(ln H) exp(−c (ln ln H)^{1−0.5ε}))，表明其为超多项式但次指数增长。
• 当 H ∈ [(ln ln T)^{1/(2m)}, ln ln T] 时，F(T;H) > exp(0.05 √(ln H) / (2m ln ln H)^m)，该结果在中等 H 范围内优于先前下界。
• 下界中的指数由函数 h(λ) = ∫₀^∞ e^{−(cosh√u + cos√u)} cos(λu) du 的最小正根 ϱ ≈ 2.37689 决定，由此得出精确常数 γ = 1/(2 + (πϱ)^{−1}) ≈ 0.4686。
• 当 H ≥ (ln ln ln T)^2 时，下界 F(T;H) > exp((ln H)^{γ−ε}) 成立，其中 γ = 0.46862145…，表明在对数尺度下呈现幂律增长。
• 所有结果均基于 Riemann 假设，该假设用于控制非平凡零点的位置，并确保卷积公式中谱分解的有效性。