[论文解读] On the largest real root of independence polynomials of graphs, an ordering on graphs, and starlike trees

Mohammad Reza Oboudi|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于图在区间 [ξ(G), 0] 上独立多项式支配关系的新型图序。其中 ξ(G) 是独立多项式的最大实根。证明了对于所有阶为 n 的树，星图 Sₙ 是该序下的最大元，路径图 Pₙ 是最小元，并通过度序列支配关系完全刻画了类星树的排序关系。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph of order $n$. An independent set in a graph is a set of pairwise non-adjacent vertices. The independence polynomial of $G$ is the polynomial $I(G,x)=\sum_{k=0}^{n} s(G,k) x^{k}$, where $s(G,k)$ is the number of independent sets of $G$ of size $k$ and $s(G,0)=1$. Clearly all real roots of $I(G,x)$ are negative. Let $ξ(G)$ be the largest real root of $I(G,x)$. Let $H$ be a simple graph. By $G \succeq H$ we mean that $I(H,x)\geq I(G,x)$ for every $x$ in the interval $[ξ(G),0]$. We note that $G\succeq H$ implies that $ξ(G)\geq ξ(H)$. Also we let $G\succ H$ if and only if $G\succeq H$ and $I(G,x) eq I(H,x)$. We prove that for every tree $T$ of order $n$, $S_n\succeq T\succeq P_n$, where $S_n$ and $P_n$ are the star and the path of order n, respectively. By $T=T(n_1,\ldots,n_k)$ we mean a tree $T$ which has a vertex $v$ of degree $k$ such that $T\setminus v=P_{n_1-1}+\cdots+P_{n_k-1}$, that is $T\setminus v$ is the disjoint union of the paths $P_{n_1-1},\ldots,P_{n_k-1}$. Let $X=(x_1,\ldots,x_k)$ and $Y=(y_1,\ldots,y_k)$, where $x_1\geq \cdots\geq x_k$ and $y_1\geq\cdots\geq y_k$ are real. By $X\succ Y$, we mean $x_1=y_1,\ldots,x_{t-1}=y_{t-1}$ and $x_t>y_t$ for some $t\in\{1,\ldots,k\}$. We let $X\succ_{d}Y$, if $X eq Y$ and for every $j$, $1\leq j\leq k$, $\sum_{i=1}^{j}x_i\geq \sum_{i=1}^{j}y_i$. Among all trees with fixed number of vertices, we show that if $(m_1,\ldots,m_k)\succ_{d}(n_1,\ldots,n_k)$, then $T(n_1,\ldots,n_k)\succ T(m_1,\ldots,m_k)$. We conjecture that $T(n_1,\ldots,n_k)\succ T(m_1,\ldots,m_k)$ if and only if $(m_1,\ldots,m_k)\succ (n_1,\ldots,n_k)$, where $\sum_{i=1}^kn_i=\sum_{i=1}^km_i$.

研究动机与目标

• 定义并分析基于图在区间 [ξ(G), 0] 上独立多项式支配关系的新型偏序关系。
• 刻画在所有阶为 n 的树中，该序下的极值树（最大与最小元）。
• 研究度序列支配关系与新图序之间的关系，特别是对类星树的情形。
• 确定独立多项式是否唯一确定一个类星树，以及度序列支配关系是否蕴含新图序。

提出的方法

• 定义 ξ(G) 为独立多项式 I(G,x) 的最大实根，其值恒为负数。
• 引入关系 G ⪰ H：当对所有 x ∈ [ξ(G), 0] 都有 I(H,x) ≥ I(G,x)，且 G ≻ H 表示 G ⪰ H 且 I(G,x) ≠ I(H,x)。
• 使用结构分解：对类星树 T(n₁,…,nₖ)，移除中心顶点后得到不相交的路径 P_{nᵢ−1}，并分析所得子图。
• 应用归纳法与边/顶点删除技巧，比较结构相似的树的独立多项式。
• 定义度序列支配关系 ≻_d：若对所有 j，排序后序列的部分和满足 ∑_{i=1}^j mᵢ ≥ ∑_{i=1}^j nᵢ，且在某个 j 处严格不等式成立，则 (m₁,…,mₖ) ≻_d (n₁,…,nₖ)。
• 利用图运算（如边删除）下独立多项式行为的已知结果，比较多项式值并推导出序关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对类星树而言，度序列支配关系（≻_d）是否蕴含图序关系（≻）？
• RQ2 类星树的独立多项式是否由其度序列唯一确定？
• RQ3 在所有阶为 n 的树中，星图 Sₙ 和路径图 Pₙ 是否分别为图序 ≻ 下的最大元与最小元？
• RQ4 图序 ≻ 是否蕴含一般树的度序列支配关系？
• RQ5 若两棵树具有相同的独立多项式，是否意味着它们具有相同的度序列？

主要发现

• 对任意阶为 n 的树 T，均有 Sₙ ≻ T ≻ Pₙ 成立，即在 ≻ 序下星图为最大元，路径图为最小元。
• 若 (m₁,…,mₖ) ≻_d (n₁,…,nₖ)，则对具有相同顶点数的类星树，有 T(n₁,…,nₖ) ≻ T(m₁,…,mₖ)。
• 独立多项式唯一确定类星树的度序列：若 I(T₁,x) = I(T₂,x)，则 D_{T₁} = D_{T₂}。
• 提出一个猜想：T(n₁,…,nₖ) ≻ T(m₁,…,mₖ) 当且仅当 (m₁,…,mₖ) ≻ (n₁,…,nₖ)，该猜想扩展了支配关系结果。
• 最大实根 ξ(G) 沿 ≻ 序非递减：若 G ≻ H，则 ξ(G) ≥ ξ(H)。
• 对类星树而言，序关系 ≻ 完全由度序列支配关系 ≻_d 决定，且仅当度序列相同时多项式才相等。