[论文解读] On the lattice of equational classes of Boolean functions and its closed intervals

Miguel Couceiro|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 11被引用 17

一句话总结

本文研究布尔函数等式类格中的不可数闭区间，建立了区间 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ 为不可数的必要且充分条件：差集 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 在预序 $\preceq_{\bf V}$ 下必须包含一个无限反链。作者对布尔情形下的所有此类区间进行了分类，并表明不可数性恰好出现在差集中存在非结合函数时。

ABSTRACT

Let A be a finite set with at least two elements. The composition of two classes I and J of operations on A, is defined as the set of all compositions of functions in I with functions in J. This binary operation gives a monoid structure to the set E_A of all equational classes of operations on A. The set E_A of equational classes of operations on A also constitutes a complete distributive lattice under intersection and union. Clones of operations, i.e. classes containing all projections and idempotent under class composition, also form a lattice which is strictly contained in E_A. In the Boolean case |A|=2, the lattice E_A contains uncountably many equational classes, but only countably many of them are clones. The aim of this paper is to provide a better understanding of this uncountable lattice of equational classes of Boolean functions, by analyzing its "closed" intervals" [C_1,C_2], for clones C_1 and C_2. For |A|=2, we give a complete classification of all such closed intervals in terms of their size, and provide a simple, necessary and sufficient condition characterizing the uncountable closed intervals of E_A.

研究动机与目标

• 为了理解布尔函数等式类格中不可数格的结构，该格比克隆格更精细。
• 基于其基数，对布尔函数等式类格 $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ 中的所有闭区间 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ 进行分类。
• 确定此类区间为不可数的必要且充分条件，重点关注幂等类 $\mathcal{C}_1$ 和 $\mathcal{C}_2$。
• 分析非结合布尔函数与无限反链在区分不可数与可数区间中的作用。

提出的方法

• 通过类复合与函数方程，定义有限集 $A$（$|A| \geq 2$）上运算等式类的格 $\mathbf{E}_A$。
• 引入运算上的预序 $\preceq_{\bf V}$，其捕捉变量代换等价性，并利用它在差集 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 中定义反链。
• 通过 $f_n$、$g_n$、$u_n$、$t_n^u$、$H_n$、$G_m^n$、$T_n$ 和 $s_n$ 等族显式构造布尔函数的无限反链，每类均展示非结合性。
• 证明区间 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ 为不可数当且仅当 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 在 $\preceq_{\bf V}$ 下包含一个无限反链。
• 利用该表征对 $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ 中所有闭区间按大小进行分类，区分可数与不可数情形。
• 证明每个不可数闭区间均包含一个极小不可数区间，且此类区间必须在 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 中包含至少一个非结合函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 布尔函数等式类格 $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ 中的不可数闭区间由什么特征表征？
• RQ2 差集 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 中非结合函数的存在如何与区间 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ 的不可数性相关？
• RQ3 能否基于差集 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 的结构性质，完全分类 $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ 中的不可数区间？
• RQ4 是否存在一个关于 $\preceq_{\bf V}$ 下无限反链存在的必要且充分条件，以判断区间 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ 是否为不可数？
• RQ5 对偶性与结合性在区分 $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ 中可数与不可数区间时起什么作用？

主要发现

• 布尔函数等式类格 $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ 包含不可数多个元素，尽管只有可数多个是克隆。
• 在 $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ 中，区间 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ 为不可数当且仅当 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 在预序 $\preceq_{\bf V}$ 下包含一个无限反链。
• 作者显式构造了布尔函数的无限反链，如 $f_n$、$g_n$、$u_n$、$t_n^u$、$H_n$、$G_m^n$、$T_n$ 和 $s_n$，每类均展示非结合性。
• 每个 $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ 中的不可数闭区间均包含一个极小不可数区间，且此类区间必须在 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 中包含至少一个非结合函数。
• $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 中存在非结合函数，是区间 $[\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2]$ 为不可数的必要且充分条件。
• $\mathbf{E}_{\mathbb{B}}$ 中闭区间的分类完全由 $\mathcal{C}_2 \setminus \mathcal{C}_1$ 中无限反链的存在性决定，从而提供了完整的结构表征。