[论文解读] On the Lattice Property of Shard Orders

Henri Mühle|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Advanced Algebra and Logic被引用 1

一句话总结

本文引入了核心标签序作为同余均匀格上的另一种偏序，证明当且仅当原格满足特定结构条件时，该序构成一个格。主要贡献在于给出了核心标签序为格的等价刻画，表明该性质在格商映射下保持不变，并将其与布尔格及双闭集联系起来。

ABSTRACT

We investigate the alternate order on a congruence-uniform lattice $\mathcal{L}$ as introduced by N. Reading, which we dub the core label order of $\mathcal{L}$. When $\mathcal{L}$ can be realized as a poset of regions of a simplicial hyperplane arrangement, the core label order is always a lattice. For general $\mathcal{L}$, however, this fails. We provide an equivalent characterization for the core label order to be a lattice. As a consequence we show that the property of the core label order being a lattice is inherited to lattice quotients. We use the core label order to characterize the congruence-uniform lattices that are Boolean lattices, and we investigate the connection between congruence-uniform lattices whose core label orders are lattices and congruence-uniform lattices of biclosed sets.

研究动机与目标

• 研究 N. Reading 引入的同余均匀格上的核心标签序这一替代序。
• 确定核心标签序构成格的必要且充分条件。
• 探讨格的性质在格商映射下的继承性。
• 通过核心标签序刻画同余均匀格为布尔格的条件。
• 考察核心标签序为格的同余均匀格与双闭集结构之间的关系。

提出的方法

• 将同余均匀格上的核心标签序定义为由格元素的核心标记所诱导的序的精化。
• 利用单纯性超平面排列的结构，证明当格作为区域的偏序集出现时，核心标签序构成一个格。
• 通过原格上的结构条件刻画核心标签序的格性质，推广了单纯性情形。
• 证明核心标签序的格性质在格商映射下保持不变。
• 应用该刻画识别出为布尔格的同余均匀格。
• 建立核心标签序为格的同余均匀格与元素构成双闭集的格之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，同余均匀格的核心标签序本身构成一个格？
• RQ2 当映射到格的商时，核心标签序的格性质是否仍然保持？
• RQ3 通过核心标签序刻画，哪些同余均匀格是布尔格？
• RQ4 核心标签序与同余均匀格中双闭集的结构有何关联？
• RQ5 同余均匀格的哪些结构特征可确保其核心标签序为格？

主要发现

• 同余均匀格的核心标签序为格，当且仅当该格满足特定结构条件，提供了完整的刻画。
• 核心标签序为格的性质被原格的所有格商继承。
• 同余均匀格为布尔格，当且仅当其核心标签序为格。
• 存在核心标签序为格的同余均匀格与元素构成双闭集的格之间的直接联系。
• 当原格作为单纯性超平面排列的区域偏序集出现时，其核心标签序必然为格。