[论文解读] On the Law of Free Subordinators

Octavio Arizmendi, Takahiro Hasebe+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文引入并表征了自由正规测度——经典子ordinator的自由类比——作为自由子ordinator的分布。证明了该类在自由乘法卷积、布尔幂与自由乘法幂、以及弱收敛下封闭，并建立了一个对称分布是自由无限可分的充分必要条件：其平方可表示为自由泊松分布与自由正规测度的自由乘法卷积，从而给出了在经典与自由卷积下均无限可分的新分布示例。

ABSTRACT

We study the freely infinitely divisible distributions that appear as the laws of free subordinators. This is the free analog of classically infinitely divisible distributions supported on [0,\infty), called the free regular measures. We prove that the class of free regular measures is closed under the free multiplicative convolution, t-th boolean power for $0\leq t\leq 1$, t-th free multiplicative power for $t\geq 1$ and weak convergence. In addition, we show that a symmetric distribution is freely infinitely divisible if and only if its square can be represented as the free multiplicative convolution of a free Poisson and a free regular measure. This gives two new explicit examples of distributions which are infinitely divisible with respect to both classical and free convolutions: χ^2(1) and F(1,1). Another consequence is that the free commutator operation preserves free infinite divisibility.

研究动机与目标

• 定义并研究自由Lévy过程（具有非负支撑）的自由类比，即自由正规测度，作为其分布。
• 建立自由正规测度在自由乘法卷积、布尔幂与自由乘法幂、以及弱收敛下的封闭性质。
• 通过其平方可表示为自由泊松与自由正规测度的自由乘法卷积，对对称自由无限可分分布进行表征。
• 从该框架中显式构造在经典与自由卷积下均无限可分的新分布示例，如 $\chi^2(1)$ 与 $F(1,1)$。

提出的方法

• 本文使用Voiculescu的R变换与自由矩母函数，通过非负漂移与在 $(0,\infty)$ 上有支撑的Lévy测度的Lévy-Khintchine表示来刻画自由正规测度。
• 应用Bercovici-Pata双射 $\Lambda$ 将经典与自由无限可分性联系起来，特别关注在 $[0,\infty)$ 上有支撑的测度。
• 分析依赖于非交叉分拆的计算方法，以表达矩与累积量，尤其关注偶数阶矩及其平方。
• 通过复合自由泊松测度的逼近，将简单情形的结果推广至一般对称自由无限可分分布。
• 自由乘法卷积下封闭性的证明依赖于自由乘法卷积的性质与自由累积量的结构。
• 利用自由换位子运算保持自由无限可分性的事实，通过将其约化为偶数阶矩与对称复合泊松逼近来实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由概率中经典子ordinator的类比是什么？它能否通过自由累积量变换来刻画？
• RQ2 自由正规测度类在自由乘法卷积、布尔幂与自由乘法幂（$t \geq 1$）下是否封闭？
• RQ3 一个对称的自由无限可分分布能否通过其平方在自由卷积下的结构来表征？
• RQ4 能否从该框架中显式构造出在经典与自由卷积下均无限可分的新分布示例？
• RQ5 自由换位子运算是否保持自由无限可分性？若是，原因是什么？

主要发现

• 自由正规测度类在自由乘法卷积 $\boxtimes$、布尔幂 $\mu^{\uplus t}$（$0 \leq t \leq 1$）与自由乘法幂 $\mu^{\boxplus t}$（$t \geq 1$）下，以及在弱收敛下均封闭。
• 一个对称分布 $\mu$ 是自由无限可分的充分必要条件是 $\mu^2 = \delta_m \boxtimes \rho$，其中 $\delta_m$ 为自由泊松分布，$\rho$ 为自由正规测度，从而建立了结构性表征。
• $\chi^2(1)$ 与 $F(1,1)$ 分布被显式证明在经典与自由卷积下均无限可分，提供了新的示例。
• 自由换位子运算保持自由无限可分性，通过对称复合自由泊松测度逼近及自由累积量对偶数阶矩的依赖性得以证明。
• 对任意自由正规测度 $\mu$，若 $X,Y$ 为自由且具有自由正规分布的自由无限可分随机变量，则 $X^{1/2}YX^{1/2}$ 的分布本身也是自由正规的，这一性质在经典情形中并不成立。
• 一个对称自由无限可分分布的平方是具有自由正规Lévy测度的复合自由泊松分布，且该表示在弱极限下保持不变。