[论文解读] On the law of the supremum of Lévy processes

Loïc Chaumont|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文建立了 Lévy 过程 $X$ 的上确界 $\overline{X}_t = \sup_{s\leq t} X_s$ 的概率分布绝对连续性的必要与充分条件，表明当 0 对 $(-\infty,0)$ 和 $(0,\infty)$ 均为正规点时，该条件等价于其更新测度的绝对连续性。核心方法利用点蚀理论与反射过程的进入时态律，推导出 $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ 的联合分布，从而在三维布朗运动与漂移过程及对称 Cauchy 过程中实现显式计算。

ABSTRACT

We show that the law of the overall supremum $\bar{X}_t=\sup_{s\le t}X_s$ of a Lévy process $X$ before the deterministic time $t$ is equivalent to the average occupation measure $μ_t(dx)=\int_0^t\p(X_s\in dx)\,ds$, whenever 0 is regular for both open halflines $(-\infty,0)$ and $(0,\infty)$. In this case, $\p(\bar{X}_t\in dx)$ is absolutely continuous for some (and hence for all) $t>0$, if and only if the resolvent measure of $X$ is absolutely continuous. We also study the cases where 0 is not regular for one of the halflines $(-\infty,0)$ or $(0,\infty)$. Then we give absolute continuity criterions for the laws of $(\bar{X}_t,X_t)$, $(g_t,\bar{X}_t)$ and $(g_t,\bar{X}_t,X_t)$, where $g_t$ is the time at which the supremum occurs before $t$. The proofs of these results use an expression of the joint law $\p(g_t\in ds,X_t\in dx,\bar{X}_t\in dy)$ in terms of the entrance law of the excursion measure of the reflected process at the supremum and that of the reflected process at the infimum. As an application, this law is made (partly) explicit in some particular instances.

研究动机与目标

• 确定 Lévy 过程 $X$ 在确定时间 $t$ 之前，其上确界 $\overline{X}_t$ 的概率分布绝对连续性的必要与充分条件。
• 将这些判别准则推广至 $(g_t, \overline{X}_t)$ 与 $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ 的联合分布，其中 $g_t$ 表示最后最大值的时间。
• 利用点蚀理论，显式表示联合分布 $\mathbb{P}(g_t \in ds, \overline{X}_t \in dx, \overline{X}_t - X_t \in dy)$。
• 在特定情形（如带漂移的布朗运动与对称 Cauchy 过程）下，恢复并显式表达三元组 $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ 的分布。

提出的方法

• 本文利用 $X_t$ 在 $\mathbb{R}_+$ 上的分布与反射过程在最小值处的进入时态律之间的等价性。
• 推导出联合分布 $\mathbb{P}(g_t \in ds, \overline{X}_t \in dx, \overline{X}_t - X_t \in dy)$ 的表达式为 $q_s^*(dx) q_{t-s}(dy) \mathbf{1}_{[0,t]}(s) \, ds$，其中 $q_s^*$ 与 $q_{t-s}$ 分别为在最大值与最小值处的进入时态律。
• 分析依赖于反射过程在上确界与下确界处的点蚀理论，特别是进入时态律 $q_t^*$ 与 $q_t$。
• 该方法通过定理 6 扩展至非正规情形，将联合分布表达式推广至非正规情况。
• 该方法将 $\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ 的分布与更新测度 $U(dx)$ 联系起来，表明 $\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ 的绝对连续性等价于 $U(dx)$ 的绝对连续性。
• 对于复合泊松过程，通过循环可交换链与一个关于弱记录的关键引理，提供了独立处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Lévy 过程的上确界 $\overline{X}_t$ 的分布是绝对连续的？
• RQ2 更新测度 $U(dx)$ 的绝对连续性与 $\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ 的绝对连续性有何关系？
• RQ3 当 0 对两个半直线均正规时，Lévy 过程的联合分布 $\mathbb{P}(g_t \in ds, \overline{X}_t \in dx, X_t \in dy)$ 的显式形式是什么？
• RQ4 在特定情形（如带漂移的布朗运动或对称 Cauchy 过程）下，三元组 $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ 的联合分布能否显式表达？
• RQ5 在最大值与最小值处的点蚀进入时态律在刻画 $\overline{X}_t$ 分布中起何作用？

主要发现

• 当 0 对 $(-\infty,0)$ 与 $(0,\infty)$ 均为正规点时，$\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ 的绝对连续性当且仅当更新测度 $U(dx)$ 的绝对连续性成立。
• 在相同正规性条件下，$\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ 的分布等价于局部时态测度 $\mu_t^+(dx) = \int_0^t \mathbb{P}(X_s \in dx) \, ds$。
• 对于带漂移的布朗运动，利用进入时态律表示，显式推导出联合分布 $\mathbb{P}(g_t \in ds, \overline{X}_t \in dx, X_t \in dy)$。
• 对于对称 Cauchy 过程，同样方法也显式表达了三元组 $(g_t, \overline{X}_t, X_t)$ 的分布。
• 对于具有离散 Lévy 测度的复合泊松过程，由于 Hartman–Wintner 定理，$\mathbb{P}(\overline{X}_t \in dx)$ 为连续奇异分布，而非绝对连续。
• 对于谱负 Lévy 过程，利用推导出的进入时态律框架，可计算 $(g_t, \overline{X}_t)$ 的联合分布。