[论文解读] On the Lebesgue Constant of Weighted Leja Points for Lagrange Interpolation on Unbounded Domains

Peter Jantsch, Clayton Webster+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2016

Numerical methods in engineering参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文证明了在无界域上使用加权Leja点进行拉格朗日插值时，Lebesgue常数随插值节点数的增加呈次指数增长。通过加权势论与正交多项式工具，作者证明了加权Leja点的递归构造可确保插值过程稳定，且其增长速度低于指数级，从而支持其在高维逼近方法中的应用。

ABSTRACT

This work focuses on weighted Lagrange interpolation on an unbounded domain, and analyzes the Lebesgue constant for a sequence of weighted Leja points. The standard Leja points are a nested sequence of points defined on a compact subset of the real line, and can be extended to unbounded domains with the introduction of a weight function $w:\mathbb{R} ightarrow [0,1]$. Due to a simple recursive formulation in one dimension, such abscissas provide a foundation for high-dimensional approximation methods such as sparse grid collocation, deterministic least squares, and compressed sensing. Just as in the unweighted case of interpolation on a compact domain, we use results from potential theory to prove that the Lebesgue constant for the Leja points grows subexponentially with the number of interpolation nodes.

研究动机与目标

• 分析在无界域上使用加权Leja点进行拉格朗日插值时，Lebesgue常数的增长行为。
• 利用势论与正交多项式理论，建立Lebesgue常数的理论界。
• 支持在诸如稀疏网格与压缩感知等高维逼近方法中使用加权Leja点。
• 证明加权Leja点的渐近Fekete性质可推出Lebesgue常数的次指数增长。

提出的方法

• 作者通过最大化加权距离乘积的方式，递归定义加权Leja点：$ x_n = \arg\max_{x\in\mathbb{R}} \left(w(x) \prod_{j=0}^{n-1} |x - x_j| \right) $。
• 他们运用加权势论，将离散的Leja点测度与紧集上Fekete点的平衡测度联系起来。
• 证明依赖于归一化Lebesgue测度 $ \mu_n = \frac{1}{n+1} \sum_{j=0}^n \delta_{x_{n,j}} $ 沿 $ n \to \infty $ 的弱-*收敛到平衡测度。
• 通过递归分离引理推导间距估计，表明相邻点之间的距离至少为 $ \sim \frac{s}{Cn} $，其中 $ s $ 为索引距离。
• 分析结合了渐近势论与每个Leja点 $ \delta $-邻域内局部点密度的显式估计。
• 关键步骤涉及利用Stirling公式与函数 $ x^x $ 对附近点距离乘积进行有界，从而得到该乘积的 $ n $ 次根的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界域上，加权Leja点的Lebesgue常数是否随节点数的增加呈次指数增长？
• RQ2 势论是否可用于建立无界域上加权插值中Lebesgue常数的增长界？
• RQ3 加权Leja点的渐近Fekete性质如何影响Lebesgue常数的增长率？
• RQ4 点间距在控制加权Leja序列Lebesgue常数中的作用是什么？

主要发现

• 加权Leja点的Lebesgue常数随插值节点数的增加呈次指数增长。
• 该证明依赖于与加权Leja点相关的离散测度向Fekete点平衡测度的弱-*收敛性。
• 间距引理表明，任意Leja点 $ \delta $-邻域内的点之间至少相距 $ \sim \frac{s}{Cn} $，其中 $ s $ 为索引差。
• 对任意 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ \delta > 0 $ 和 $ N \in \mathbb{N} $，使得当 $ n > N $ 时，满足 $ \left( \prod_{|x_{n,k}-x_{n,j}|<\delta} |x_{n,k}-x_{n,j}| \right)^{1/n} > 1 - \varepsilon $。
• 结果证实，由于其嵌套、稳定且良好分离的结构，加权Leja点适用于高维插值。