[论文解读] On the length and depth of finite groups (with an appendix by D.R. Heath-Brown)

Timothy C. Burness, Martin W. Liebeck+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Finite Group Theory Research参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文对深度为3和4的有限群进行了分类，扩展了此前关于有限单群的深度与长度的研究。它完整分类了长度至多为9的单群，利用数论结果证明了存在无穷多个长度≤9的非交换单群，并建立了 $ G/R(G) $ 的长度关于链差 $ \mathrm{cd}(G) $ 的线性上界，且给出了单群链比的最优下界。

ABSTRACT

An unrefinable chain of a finite group $G$ is a chain of subgroups $G = G_0 > G_1 > \cdots > G_t = 1$, where each $G_i$ is a maximal subgroup of $G_{i-1}$. The length (respectively, depth) of $G$ is the maximal (respectively, minimal) length of such a chain. We studied the depth of finite simple groups in a previous paper, which included a classification of the simple groups of depth $3$. Here we go much further by determining the finite groups of depth $3$ and $4$. We also obtain several new results on the lengths of finite groups. For example, we classify the simple groups of length at most $9$, which extends earlier work of Janko and Harada from the 1960s, and we use this to describe the structure of arbitrary finite groups of small length. We also present a number-theoretic result of Heath-Brown, which implies that there are infinitely many non-abelian simple groups of length at most $9$. Finally we study the chain difference of $G$ (namely the length minus the depth). We obtain results on groups with chain difference $1$ and $2$, including a complete classification of the simple groups with chain difference $2$, extending earlier work of Brewster et al. We also derive a best possible lower bound on the chain ratio (the length divided by the depth) of simple groups, which yields an explicit linear bound on the length of $G/R(G)$ in terms of the chain difference of $G$, where $R(G)$ is the soluble radical of $G$.

研究动机与目标

• 对所有深度为3和4的有限群进行分类，扩展此前关于有限单群深度的研究。
• 扩展对小长度有限单群的分类，基于Janko与Harada在1960年代的工作。
• 利用小长度单群的分类，确定任意小长度有限群的结构。
• 对链差为2的单群进行分类，扩展Brewster等人结果。
• 建立有限非交换单群链比的最优下界，并推导出 $ G/R(G) $ 的长度关于 $ \mathrm{cd}(G) $ 的线性上界。

提出的方法

• 使用不可约链——极大子群链 $ G = G_0 > G_1 > \cdots > G_t = 1 $——来定义长度 $ l(G) $ 与深度 $ \lambda(G) $，即此类链的最大与最小长度。
• 应用有限群的结构理论，特别是合成列与主列，对深度为3和4的群进行分类。
• 运用文献中关于对称群与自同构群长度的结果，包括对任意有限群 $ G $ 有 $ l(\mathrm{Aut}(G)) \leq 2l(G) $。
• 利用Heath-Brown关于 $ p \pm 1 $ 的素因子个数的数论结果，证明对无穷多个满足 $ p \equiv 5 \pmod{72} $ 的素数 $ p $，有 $ \Omega((p^2-1)/24) \leq 7 $，从而说明存在无穷多个长度≤9的非交换单群。
• 应用筛法，特别是Halberstam与Richert的加权筛法，以证明存在具有有界 $ \Omega $-函数值的此类素数。
• 通过 $ l(\mathrm{Soc}(G/R(G))) $ 与 $ l(\mathrm{Aut}(\mathrm{Soc}(G/R(G)))) $ 的界，推导出 $ l(G/R(G)) $ 关于 $ \mathrm{cd}(G) $ 的线性上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限群的深度恰好为3，其结构特征是什么？
• RQ2 哪些有限群的深度恰好为4，它们与单群及半直积群有何关系？
• RQ3 哪些有限单群的长度至多为9，这一结果如何扩展Janko与Harada的早期工作？
• RQ4 哪些单群的链差为2，能否被完全分类？
• RQ5 有限非交换单群的链比 $ l(G)/\lambda(G) $ 的最优下界是什么？

主要发现

• 所有深度为3的有限群要么是主长度为3的可解群，要么是表1中列出的单群，包括 $ A_p $、$ \mathrm{L}_2(q) $、$ \mathrm{L}_n^\epsilon(q) $、$ ^2B_2(q) $、$ \mathrm{M}_{23} $ 及婴儿怪兽群。
• 深度为4的有限群被分类为：主长度为4的可解群，或满足 $ \lambda(G) = 4 $ 的几乎单群，或满足特定条件的扭半直积 $ T \,\mathrm{twr}_\phi\, S $。
• 本文完整分类了所有长度至多为9的有限单群，扩展了Harada对长度≤7群的分类。
• 存在无穷多个长度至多为9的非交换单群，这是通过Heath-Brown关于 $ \Omega((p^2-1)/24) \leq 7 $ 对无穷多个满足 $ p \equiv 5 \pmod{72} $ 的素数成立的结果所证明。
• 链差 $ \mathrm{cd}(G) = l(G) - \lambda(G) $ 满足 $ l(G/R(G)) \leq 10 \cdot \mathrm{cd}(G) $，且该界为最优。
• 建立了有限非交换单群链比 $ l(G)/\lambda(G) $ 的最优下界，从而导出 $ l(G/R(G)) $ 关于 $ \mathrm{cd}(G) $ 的线性上界。