[论文解读] On the lexicographic representation of numbers

Vincenzo Manca|arXiv (Cornell University)|May 3, 2015

Lexicography and Language Studies参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明了位置记数法无需使用零符号，提出了一种无零的字典序系统，其中数字通过数字字符集 1 到 k 上的字符串字典序进行编码。该文证明，这种字典序表示法保留了经典位置制系统的所有基本性质，并提供了字典序表示与标准基-k 表示之间明确的转换算法。

ABSTRACT

It is proven that, contrarily to the common belief, the notion of zero is not necessary for having positional representations of numbers. Namely, for any positive integer $k$, a positional representation with the symbols for $1, 2, \ldots, k$ is given that retains all the essential properties of the usual positional representation of base $k$ (over symbols for $0, 1, 2 \ldots, k-1$). Moreover, in this zero-free representation, a sequence of symbols identifies the number that corresponds to the order number that the sequence has in the ordering where shorter sequences precede the longer ones, and among sequences of the same length the usual lexicographic ordering of dictionaries is considered. The main properties of this lexicographic representation are proven and conversion algorithms between lexicographic and classical positional representations are given. Zero-free positional representations are relevantt in the perspective of the history of mathematics, as well as, in the perspective of emergent computation models, and of unconventional representations of genomes.

研究动机与目标

• 挑战历史上和数学上认为零对位置记数系统必不可少的假设。
• 证明仅使用数字 1 到 k 的字符串字典序可作为有效的无零位置记数表示。
• 为任意基 k 形式化字典序表示与经典位置表示之间的转换算法。
• 探讨该表示法对数学史、基因组编码以及非传统计算模型的影响。

提出的方法

• 定义有限字母表 S = {a₁, a₂, ..., aₖ}，并引入枚举函数 ω(aᵢ) = i，为符号分配数值。
• 利用 S* 中字符串的字典序，为每个字符串分配唯一的位置（索引），其中较短的字符串排在较长的字符串之前，相同长度的字符串按字典序排列。
• 引入递归公式（公式 1）和迭代算法（公式 2），用于计算任意字符串的字典序索引，从而实现字符串到自然数的映射。
• 通过字典序枚举在字符串与自然数之间建立双射映射，形成无需零的无零位置系统。
• 推导出字典序表示与经典基-k 表示（使用数字 0 到 k−1）之间的转换函数，并通过形式化证明验证其正确性。
• 将该框架应用于历史系统（如托勒密的六十进制记数法）以及膜计算等模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用零符号的情况下构建位置记数系统？
• RQ2 在字母表 {1, 2, ..., k} 上的字符串字典序是否能提供自然数的完整且无歧义的位置表示？
• RQ3 字典序表示与经典基-k 位置记数法之间的正式转换算法是什么？
• RQ4 这种无零系统与古希腊或玛雅等历史记数系统有何关联？
• RQ5 该表示法对基因组编码以及 P 系统等新兴计算模型有何影响？

主要发现

• 仅使用数字 1 到 k 的位置记数表示系统可被构建，无需使用零符号，从而证明零并非位置记数法在逻辑上所必需。
• 在字母表 {1, 2, ..., k} 上的字符串字典序，可在有限字符串与自然数之间建立双射映射，字符串在有序列表中的位置即为其数值。
• 本文提供了递归公式（公式 1）和迭代算法（公式 2），用于计算任意字符串的字典序索引，从而实现从字符串到数值的直接转换。
• 明确形式化定义并证明了转换函数，可在字典序表示与经典基-k 表示之间相互转换，且保持数值等价性。
• 该系统与历史记数系统（如托勒密的六十进制记数法）一致，后者虽使用位置制原则，但未显式使用零符号。
• 该框架适用于非传统计算模型，包括膜系统（P 系统），并为通过字典序索引将 DNA 序列视为数字提供了一种新方法。