[论文解读] On the lifting of Hilbert cusp forms to Hilbert-Siegel cusp forms

Tamotsu Ikeda, Shunsuke Yamana|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文将杜克-伊曼古鲁-伊基达提升推广至全实数域上的希尔伯特尖形式，构造了一种从权为 $2\kappa$ 的希尔伯特尖形式到权为 $\kappa + \frac{m}{2}$ 且度数为 $m$ 的希尔伯茨iegel尖形式的提升。该构造使用退化Whittaker函数、傅里叶-雅可比模以及辛群内形的转移，得到一个具有显式 $L$-函数的Hecke特征形式，其$L$-函数涉及部分$L$-函数，并在分歧素数处移除了欧拉因子。

ABSTRACT

Starting from a Hilbert cusp form of weight $2\kap$, we will construct a Hilbert-Siegel cusp form of weight $\kap+\frac{m}{2}$ and degree $m$ and its transfer to inner forms of symplectic groups.

研究动机与目标

• 将杜克-伊曼古鲁-伊基达提升从椭圆尖形式推广至全实数域上的希尔伯特尖形式。
• 从权为 $2\kappa$ 的希尔伯特尖形式构造到权为 $\kappa + \frac{m}{2}$ 且度数为 $m$ 的希尔伯茨iegel尖形式的提升。
• 通过自守表示建立提升形式向辛群内形的转移。
• 给出提升后的希尔伯茨iegel尖形式的傅里叶系数的显式公式，其以局部 $L$-因子和高斯和表示。
• 验证提升形式的标准（部分）$L$-函数与在分歧素数处移除欧拉因子后的$L$-函数乘积一致。

提出的方法

• 该构造使用全实域 $F$ 的 adele 环上辛群 $\mathrm{Mp}(W_m)$ 的挠覆盖相关的退化Whittaker函数。
• 通过傅里叶-雅可比模将 $\mathrm{GL}_2$ 的自守表示与 $\mathrm{Sp}_m$ 的自守表示联系起来，从而实现提升过程。
• 通过使用施瓦茨-布罗盖特函数和Weil表示的theta提升实现该提升，权重偏移源于自守因子 $J_{\ell}(\tilde{g}, Z)^{-1}$。
• 该方法通过涉及 $c(t)$、$\mathfrak{f}_t^{\kappa-1/2}$ 和局部 $L$-因子 $\Psi_v(t, q_v^{s_v})$ 的傅里叶系数，定义了希尔伯茨iegel上半空间 $\mathfrak{H}_m^d$ 上的函数 $F(Z)$。
• 通过雅可比-兰道斯对应分析 $\mathrm{Sp}_m$ 的内形上的自守表示，实现向内形的转移。
• 关键技术工具是利用局部根数 $\gamma(\psi_v^t)$ 和局部 $L$-因子的函数方程，以确保正确的变换性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的从椭圆尖形式到Siegel尖形式的伊基达提升推广至全实数域上的希尔伯特尖形式？
• RQ2 从权为 $2\kappa$ 的希尔伯特尖形式提升得到的希尔伯茨iegel尖形式的精确权和度数是什么？
• RQ3 提升后的希尔伯茨iegel尖形式的傅里叶展开如何与原始希尔伯特尖形式的傅里叶系数相关？
• RQ4 提升后的希尔伯茨iegel尖形式的标准（部分）$L$-函数是什么？其在自守$L$-函数中的分解形式如何？
• RQ5 该提升在向辛群内形转移时的行为如何？导子和分歧素数在此过程中的作用是什么？

主要发现

• 该提升从权为 $2\kappa$ 的希尔伯特尖形式构造出度数为 $m$、权为 $\kappa + \frac{m}{2}$ 的希尔伯茨iegel尖形式，将经典伊基达提升推广至希尔伯特模形式。
• 提升形式的傅里叶系数显式给出为 $c(\nu(2B)) \cdot \mathfrak{f}_B^{\kappa-1/2} \cdot \prod_{v \notin \mathfrak{S}_\infty} \widetilde{F}_v(B, q_v^{s_v})$，其中 $\widetilde{F}_v$ 编码了局部 $L$-因子和高斯和。
• 提升形式的标准（部分）$L$-函数为 $\zeta_F^{\mathfrak{e}^D}(s) \prod_{i=1}^{2n} L^{\mathfrak{e}^D}(s + n - i + \frac{1}{2}, \pi)$，其中在 $\mathfrak{e}^D$（除法代数 $D$ 中的分歧素数乘积）处移除了欧拉因子。
• 当 $n=1$ 且 $F=\mathbb{Q}$ 时，该提升恢复经典伊基达提升，其 $L$-函数与文献 [14, 18] 中已知结果一致。
• 该构造与雅可比-兰道斯转移相容，通过傅里叶-雅可比模和局部函数方程理论，证明了在辛群内形上的提升形式是尖形式且为Hecke特征形式。
• 该提升保持Hecke特征形式结构，且提升形式的特征值系统由原始希尔伯特尖形式通过局部 $L$-因子以及诱导表示中 $s_v$ 的选择确定。