[论文解读] On the Lifts of Minimal Lagrangian Submanifolds

Sung Ho Wang|ArXiv.org|Sep 26, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文在凯勒-爱因斯坦流形上的典范线丛的全空间上构造了卡拉比-丘结构，表明极小拉格朗日子流形可提升为这些空间中的特殊拉格朗日子流形。它建立了复射影空间中紧致极小拉格朗日子流形面积的统一下界，并通过自对偶爱因斯坦4-流形中超极小曲面的提升，将该构造推广至 $G_2$ 和 $Spin(7)$ 流形中的 associative、coassociative 和 Cayley 子流形。

ABSTRACT

We show the total space of the canonical line bundle $\mathbb{L}$ of a Kahler-Einstein manifold $X^n$ supports integrable $SU(n+1)$ structures, or Calabi-Yau structures. The canonical real line bundle $L \subset \mathbb{L}$ over a minimal Lagrangian submanifold $M \subset X$ is calibrated in this setting and hence can be considered as the special Lagrangian lift of $M$. For the integrable $G_2$ and $Spin(7)$ structures on spin bundles and bundles of anti-self-dual 2-forms on self-dual Einstein 4-manifolds constructed by Bryant and Salamon, minimal surfaces with vanishing complex quartic form (super-minimal) admit lifts which are calibrated, i.e., associative, coassociative or Cayley respectively. The lifts in this case can be considered as the tangential lifts or normal lifts of the minimal surface adapted to the quaternionic bundle structure.

研究动机与目标

• 在凯勒-爱因斯坦流形 $X^n$ 上的典范线丛 $\mathbb{L}$ 的全空间上构造可积的 $SU(n+1)$ 结构。
• 证明在极小拉格朗日子流形 $M \subset X$ 上的典范实线丛 $L \subset \mathbb{L}$ 是校准的，因此是 $M$ 的特殊拉格朗日提升。
• 在具有标准凯勒结构的 $\mathbb{C}P^n$ 中，为紧致极小拉格朗日子流形建立统一的面积下界。
• 将该构造推广至 $G_2$ 和 $Spin(7)$ 结构，表明自对偶爱因斯坦4-流形中的超极小曲面可提升为 associative、coassociative 或 Cayley 子流形。

提出的方法

• 在典范线丛 $\mathbb{L}$ 上定义典范的 $(n,0)$-形式 $\Upsilon_0$，并证明 $d\Upsilon_0 = -i\gamma \wedge \Upsilon_0$，其中 $\gamma$ 是联络1-形式的迹。
• 通过径向函数 $f(r)$ 构造 $\mathbb{L}$ 上的赫尔米特度量，使得全纯体积形式 $\Upsilon = d\Upsilon_0$ 的长度为常数，且当度量为凯勒时 $\Upsilon$ 为平行。
• 导出微分方程 $c r + \frac{2}{n} f^{\frac{2}{n}+1} \frac{\partial f}{\partial r} = 0$ 以确保 $\Pi$ 闭合，从而得到显式解 $f(r) = \left(-c \frac{n+2}{2} r^2 + c'\right)^{\frac{n}{2n+2}}$。
• 证明在极小拉格朗日子流形 $M \subset X$ 上的 $S^1$-丛 $B \to X$ 的拉回是平坦的，并存在一个良定义的截面 $s: M \to \phi^*(B)$，该截面平行当且仅当 $M$ 是极小的。
• 通过证明其被 $\text{Re}(e^{i\theta} \Upsilon)$ 校准，证明极小拉格朗日子流形 $M$ 的提升 $\tilde{M} \subset B \subset \mathbb{L}$ 是特殊拉格朗日子流形。
• 对于自对偶爱因斯坦4-流形中的超极小曲面，证明其在 $G_2$ 和 $Spin(7)$ 结构中的法丛和切丛提升分别为校准的 associative、coassociative 或 Cayley 子流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 凯勒-爱因斯坦流形上的典范线丛能否支持具有平行全纯体积形式的卡拉比-丘结构？
• RQ2 凯勒-爱因斯坦流形中极小拉格朗日子流形上的实线丛是否为校准的，因而构成其特殊拉格朗日提升？
• RQ3 特殊拉格朗日提升的存在性是否意味着 $\mathbb{C}P^n$ 中紧致极小拉格朗日子流形存在统一的面积下界？
• RQ4 自对偶爱因斯坦4-流形中的超极小曲面是否在通过布赖恩特和萨拉蒙构造的 $G_2$ 和 $Spin(7)$ 流形中存在校准的提升？

主要发现

• 凯勒-爱因斯坦流形 $X^n$ 上的典范线丛 $\mathbb{L}$ 的全空间具有卡拉比-丘结构，其平行全纯体积形式为 $\Upsilon = d\Upsilon_0$，该结构通过满足 $f(r) = \left(-c \frac{n+2}{2} r^2 + c'\right)^{\frac{n}{2n+2}}$ 的径向度量 $f(r)$ 构造而成。
• 在极小拉格朗日子流形 $M \subset X$ 上的典范实线丛 $L \subset \mathbb{L}$ 被 $\text{Re}(e^{i\theta} \Upsilon)$ 校准，因此是 $\mathbb{L}$ 中的特殊拉格朗日子流形。
• 在 $\mathbb{C}P^n$ 中的紧致极小拉格朗日子流形具有统一的面积下界 $\delta(n) > 0$，该下界由其在 $S^{2n+1}$ 中的 Legendre 提升应用等周不等式导出。
• 对于自对偶爱因斯坦4-流形 $N$ 中的超极小曲面 $\Sigma$，其法丛 $\Omega^\perp$ 在 $G_2$ 结构下是 $\bigwedge^2_-N$ 中的 associative 子流形。
• 在自旋丛 $\mathbb{S} \to N$ 中，切丛和法丛的提升 $\tilde{T}\Sigma$ 和 $\tilde{N}\Sigma$ 在 $Spin(7)$ 结构下是 Cayley 子流形。
• 该构造证实了在 $G_2$ 和 $Spin(7)$ 流形中存在大量紧致校准子流形，包括在 $S^4$ 和 $\mathbb{C}P^2$ 中，这些子流形可通过超极小曲面的提升构造。