[论文解读] On the limit of large girth graph sequences

Gábor Elek|ArXiv.org|Nov 7, 2008

Graph theory and applications参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文证明了，任何在最大度为 $ d $ 的根树上满足对合不变性的概率测度，均可作为最大度为 $ d $ 的有限图序列的局部弱极限。证明通过加权标记树与边匹配构造方法构建此类图，确立了大圈长图序列可实现任意此类测度作为其局部极限，从而回答了Bollobás与Riordan提出的问题。

ABSTRACT

We prove that any involution-invariant probability measure on the space of trees with maximum degrees at most d arises as the local limit of a convergent large girth graph sequence. This answers a question of Bollobas and Riordan.

研究动机与目标

• 解决Bollobás与Riordan的第6.8问，即关于存在图序列使其局部极限实现树上任意对合不变测度的问题。
• 建立在最大度为 $ d $ 的根树上，每个对合不变测度均为最大度为 $ d $ 的有限图序列的局部弱极限。
• 表明此类图序列必须渐近为树状结构，因此对应于大圈长序列。
• 构造有限图，使其局部邻域分布可对给定的对合不变测度在树上实现任意精度的逼近。

提出的方法

• 定义最大度为 $ d $ 的根、可数、连通图的集合 $ extrm{Gr}_d $，并赋予基于根周围 $ r $-球同构的度量。
• 引入 $ extrm{Gr}_d $ 上测度的对合不变性概念，要求在反转根边方向的对合下保持不变。
• 通过边球上测度的有理逼近 $ w_ ho $，构造编码测度 $ u_n $ 在 $ r+1 $-球上结构的有限标记图 $ H $。
• 构建一个无边图 $ Q $，其顶点集 $ Q(A) $ 的大小为 $ N w_ ho(A) $，并根据边权重 $ w_ ho(A, L_A, B) $ 进行划分。
• 通过双射 $ Z_{A,B} $ 在 $ Q(A, L_A, B) $ 与 $ Q(B, L_B, A) $ 之间添加边，形成具有受控局部结构的图 $ R $。
• 通过将 $ R $ 的顶点按标记根树 $ M $ 分组为超顶点，构造最终图 $ G $，确保若 $ M $ 为标记分离，则其超顶点周围的 $ r+1 $-球与 $ M $ 同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何在最大度为 $ d $ 的根树上满足对合不变性的概率测度是否均可作为最大度为 $ d $ 的有限图序列的局部弱极限？
• RQ2 是否每个此类测度均可作为大圈长图序列的局部极限实现？
• RQ3 何种结构条件可确保测度在局部弱拓扑下可由有限图逼近？
• RQ4 若测度满足对合不变性，是否可将其作为局部极限实现？若可，此类图如何显式构造？

主要发现

• 任何在 $ extrm{Gr}_d $ 上、支持在树上的对合不变概率测度 $ u $，均可作为最大度为 $ d $ 的有限图序列的局部弱极限。
• 对任意 $ r \to \rho $ 且 $ \rho > 0 $，存在有限图 $ G $，使得对所有 $ \beta \to U^{r,d} $，有 $ |p_G(\beta) - \nu(T(\textrm{Gr}_d, \beta))| < \rho $，从而证明了在局部弱拓扑下的逼近。
• 该构造确保在 $ G $ 中，其 $ r+1 $-球同构于非标记分离树的顶点比例被控制在 $ \frac{\rho}{10} + \rho d |U^{r,d}_n| $ 以内，该值可任意缩小。
• 对标记分离树 $ M $，局部邻域频率 $ p_G(M) $ 与 $ \nu(T(\textrm{Gr}_d, M)) $ 的误差在 $ d\rho $ 以内，且通过选择足够小的 $ \rho $ 可使该误差任意小。
• 该方法通过在标记球上进行有理权重的边匹配构造图，确保最终图的局部结构可对目标测度实现任意精度的匹配。
• 关键洞见在于，对合不变性允许构造对称的边加权图 $ H $，该图可通过整数缩放与基于双射的边匹配方法实现为有限图。