[论文解读] On the linearity of certain mapping class groups

Mustafa Korkmaz|ArXiv.org|Oct 27, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用 27

一句话总结

本文通过利用 Bigelow 证明 braid 群是线性的结果，确立了某些映射类群的线性性质。借助群论技术——特别是有限指数子群与中心化子构造——证明了带 punctures 的球面的映射类群以及双阿贝尔映射类群是线性的；特别地，亏格为 2 的曲面的映射类群是线性的。

ABSTRACT

S. Bigelow proved that the braid groups are linear. That is, there is a faithful representation of the braid group into the general linear group of some field. Using this, we deduce from previously known results that the mapping class group of a sphere with punctures and hyperelliptic mapping class groups are linear. In particular, the mapping class group of a closed orientable surface of genus 2 is linear.

研究动机与目标

• 解决特定映射类群是否为线性这一开放问题，特别关注与 braid 群及双阿贝尔结构相关的群。
• 通过群论构造，将 Bigelow 关于 braid 群线性性的结果推广至更广泛的映射类群类别。
• 证明亏格为 2 的曲面的映射类群是线性的，这是低维拓扑中的一个重要结果。
• 利用代数与几何技术，为这些群在实数域上提供显式的线性表示。
• 建立一个框架，通过已知的 braid 群线性性，推导映射类群的子群与商群的线性性。

提出的方法

• 利用 Bigelow 证明 braid 群 $ B_n $ 是线性的结果，具体通过将其忠实嵌入 $ GL(\frac{n(n-1)}{2}, \bR) $。
• 通过将带 puncture 的圆盘的微分同胚延拓至具有 $ n $ 个标记点的球面，构造同态 $ \varphi: B_{n-1} \to \mathcal{M}_{0,n} $，其核等于 $ B_{n-1} $ 的中心。
• 应用定理 2，证明商群 $ B_{n-1}/C(B_{n-1}) $（同构于 $ \mathcal{M}_{0,n} $ 的有限指数子群）是线性的。
• 利用定理 4 将线性性从有限指数子群提升：若一个有限指数子群是线性的，则整个群也是线性的。
• 对于双阿贝尔映射类群，构造短正合列 $ 1 \to \mathbb{Z}_2 \to C_{\mathcal{M}_g}(\jmath) \to \mathcal{M}_{0,2g+2} \to 1 $，其中 $ \jmath $ 是双阿贝尔对合。
• 将双阿贝尔群与辛表示 $ \rho: \mathcal{M}_g \to Sp(2g,3) $ 的核相交，得到一个有限指数的线性子群，并应用定理 4 得出线性性结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 braid 群的线性性能否推广至带 punctures 的球面的映射类群？
• RQ2 双阿贝尔映射类群是否为线性？若为线性，其条件为何？
• RQ3 亏格为 2 的曲面的映射类群是否为线性？这一结论能否从已知的线性结果中推导？
• RQ4 这些映射类群在实数域上的显式线性表示是什么？
• RQ5 在映射类群的背景下，中心化子与有限指数子群如何保持线性性？

主要发现

• 对具有 $ n $ 个标记点的球面的映射类群 $ \mathcal{M}_{0,n} $，对所有 $ n $ 均为线性，其证明基于 braid 群的线性性与有限指数子群的线性性提升。
• 亏格 $ g $ 的曲面的双阿贝尔映射类群是线性的，其证明依赖于通过辛表示将一个线性子群嵌入有限指数的构造。
• 亏格为 2 的曲面的映射类群是线性的，因为其与自身的双阿贝尔子群重合，而后者已被证明为线性。
• 构造了 $ \mathcal{M}_{0,n} $ 到 $ GL\left(\frac{n(n-1)^2(n-2)^2}{4}, \mathbb{R}\right) $ 的显式线性表示。
• 推导出亏格 $ g $ 的双阿贝尔映射类群到 $ GL\left(2(g+1)g^2(2g+1)^2 3^{g^2} \prod_{i=1}^g (3^{2i}-1), \mathbb{R}\right) $ 的显式线性表示。
• 映射类群 $ \mathcal{M}_2 $ 嵌入 $ GL(2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^3, \mathbb{R}) $，为线性表示的次数提供了具体的上界。