[论文解读] On the list recoverability of randomly punctured codes

Ben Lund, Aditya Potukuchi|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明，对大字母表上的高距离码进行随机删失，可得到超越 Johnson 边界的列表可恢复码，特别地表明某些 Reed-Solomon 码可通过此方法实现更优的列表恢复性能。关键结果为：对高距离码进行随机删失后，输入和输出列表大小分别为 $\Omega(q)$ 和 $O(q)$，在速率 $\Omega(q^{-1/2}/\log q)$ 下实现，超越了 Johnson 边界的限制。

ABSTRACT

We show that a random puncturing of a code with good distance is list recoverable beyond the Johnson bound. In particular, this implies that there are Reed-Solomon codes that are list recoverable beyond the Johnson bound. It was previously known that there are Reed-Solomon codes that do not have this property. As an immediate corollary to our main theorem, we obtain better degree bounds on unbalanced expanders that come from Reed-Solomon codes.

研究动机与目标

• 证明对大字母表上高距离码进行随机删失可实现超越 Johnson 边界的列表可恢复性。
• 建立 Reed-Solomon 码可通过删失实现列表恢复性能超越 Johnson 边界。
• 为基于 Reed-Solomon 码构造的非平衡扩张图提供改进的度数界。
• 识别随机删失在实现固定度数 Reed-Solomon 码的高码率、低列表大小列表可恢复性方面的局限性。
• 提出一个关于通过随机删失构造高码率、低列表大小列表可恢复 Reed-Solomon 码存在的猜想。

提出的方法

• 作者使用概率与组合技术分析随机删失码的列表可恢复性，重点关注其距离接近字母表大小下限的码。
• 他们应用浓度不等式与矩估计，证明以高概率随机删失可保持良好的列表可恢复性特性。
• 证明利用了 $\mathbb{F}_q$ 的随机子集结构，并使用 Markov 不等式来控制和集构造中的碰撞概率。
• 他们定义并分析了从求值点的有理函数导出的集合 $A_i$，以在有界列表大小内构造大量码字族。
• 分析包括对由求值点线性组合导出的集合 $A_i$ 的大小进行有界，证明其在随机选择下呈次指数增长。
• 主要技术工具是与早期关于删失码列表译码结果的比较，将框架扩展至列表恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机删失高距离码能否实现超越 Johnson 边界的列表可恢复性？
• RQ2 是否存在 Reed-Solomon 码，其输入和输出列表大小分别为 $\Omega(q)$ 和 $O(q)$，在速率 $\Omega(q^{-1/2}/\log q)$ 下实现？
• RQ3 随机删失在实现固定度数 Reed-Solomon 码的高码率、低列表大小列表可恢复性方面存在何种根本限制？
• RQ4 能否通过随机删失将列表可恢复 Reed-Solomon 码的速率提升至 $\Omega(\ell^{-1})$ 以上？
• RQ5 即使对于常数度多项式，是否可能通过随机删失构造出高码率、低列表大小的列表可恢复 Reed-Solomon 码？

主要发现

• 对距离为 $n(1 - q^{-1} - \epsilon^2)$ 的码进行随机删失，以高概率实现 $(\rho, \ell, \ell(1+\alpha))$-列表可恢复性，其中 $\rho < 1 - (1+\alpha)^{-1/2}$ 且 $\epsilon = \Theta(q^{-1/2})$。
• 所得码的速率为 $\Omega(\epsilon / \log q) = \Omega(q^{-1/2}/\log q)$，优于 Johnson 边界对相同列表大小的 $\Omega(\ell^{-1})$ 速率。
• 当 $\rho = 0$ 且 $\alpha = 1$ 时，码为 $(\ell, 2\ell)$-零错误列表可恢复，输入和输出列表大小为 $\Omega(q)$。
• 该构造为基于 Reed-Solomon 码的非平衡扩张图提供了更优的度数界。
• 本文表明，对度数为 $d$ 的 Reed-Solomon 码进行随机删失，无法在 $\Omega(q)$-列表恢复下实现速率 $\omega(1/\log q)$，揭示了根本性障碍。
• 作者猜想，度数为 $d$ 的 Reed-Solomon 码在 $\mathbb{F}_q$ 上可通过随机删失实现 $\Omega_d(1/\log q)$ 的速率，且以高概率实现 $(\Omega(q), 1/2)$-列表可恢复。