[论文解读] On the local and global classification of generalized complex structures

Michael Bailey|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文证明，在广义复流形的任意复类型点附近，局部结构微分同胚于复结构经由全纯泊松张量场的形变。作者通过在收缩邻域上应用类似Nash-Moser的迭代算法，并结合现代缩放$C^∞$空间形式化方法，证明此类广义复结构可视为复结构经由全纯泊松张量场的形变，从而解决了复类型点处的局部分类问题。

ABSTRACT

We study a number of local and global classification problems in generalized complex geometry. In the first topic, we characterize the local structure of generalized complex manifolds by proving that a generalized complex structure near a complex point arises from a holomorphic Poisson structure. In the proof we use a smoothed Newton's method along the lines of Nash, Moser and Conn. In the second topic, we consider whether a given regular Poisson structure and transverse complex structure come from a generalized complex structure. We give cohomological criteria, and we find some counterexamples and some unexpected examples, including a compact, regular generalized complex manifold for which nearby symplectic leaves are not symplectomorphic. In the third topic, we consider generalized complex structures with nondegenerate type change; we describe a generalized Calabi-Yau structure induced on the type change locus, and prove a local normal form theorem near this locus. Finally, in the fourth topic, we give a classification of generalized complex principal bundles satisfying a certain transversality condition; in this case, there is a generalized flat connection, and the classification involves a monodromy map to the Courant automorphism group.

研究动机与目标

• 解决复类型点处广义复结构的局部分类问题，此时泊松张量为零。
• 证明此类结构在局部上微分同胚于复结构经由全纯泊松张量场的形变。
• 通过刻画复类型点处剩余的局部模型，扩展Abouzaid与Boyarchenko的局部标准型定理。
• 在缩放$C^∞$框架下，通过快速收敛算法提供一种构造性局部分类方法。

提出的方法

• 将类似Nash-Moser的迭代算法应用于收缩邻域，以解决局部分类问题。
• 采用Miranda、Monnier与Zung（2011）提出的“缩放$C^∞$空间”形式化方法，以处理收敛过程中导数损失的问题。
• 使用一参数变换$\lambda_t$与伸缩变换$\delta_t$，对形变参数$\varepsilon$进行缩放，以减小其在Sobolev范数下的大小。
• 应用$B$-变换，将原点处的广义复结构归一化为$\mathbb{C}^n$上的标准复结构。
• 通过向量场的流实施共轭过程，将形变$\varepsilon$转化为全纯泊松张量场$\beta$。
• 依赖Maurer-Cartan方程以及在Courant括号下$+i$-特征丛的对合性，以确保在整个变换过程中广义复结构保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在泊松张量为零（即复类型点）附近，广义复结构的局部模型是什么？
• RQ2 此类局部结构能否描述为复结构经由全纯泊松张量场的形变？
• RQ3 是否存在一种构造性方法，通过快速收敛算法实现该分类？
• RQ4 变形参数在$\delta_t$与$\lambda_t$作用下的缩放行为，如何在Nash-Moser框架中实现收敛？

主要发现

• 在任意复类型点附近，广义复结构在局部上微分同胚于复结构经由全纯泊松张量场的形变。
• 该证明依赖于一种在收缩邻域上快速收敛的Nash-Moser型算法，克服了隐函数定理中的导数损失问题。
• 形变参数$\varepsilon$可通过$R_t = \lambda_{t^2} \delta_{t^{-1}}$进行缩放，使其$C^k$-范数减小为$t$倍，从而可应用主引理。
• 变换$\lambda_{t^2}$将张量场缩放为$t^{-2}$倍，表明原始形变$\varepsilon$等价于全纯泊松张量场$t^{-2}\beta$。
• 此类广义复结构的类型变化轨迹在局部上为解析子簇，因其由全纯张量分量的代数函数零点所定义。