[论文解读] On the local and global exterior square L-functions

Pramod Kumar Kewat, Ravi Raghunathan|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2012

Advanced Algebra and Geometry被引用 5

一句话总结

本文证明了对 $\mathrm{GL}_n$ 的局部外平方 $L$-函数，通过积分表示法（Jacquet-Shalika）与 Langlands-Shahidi 方法构造的结果在平方可积表示和一般表示下相等。它证明了 $L_{JS}(s,\pi_v,\wedge^2) = L_{Sh}(s,\pi_v,\wedge^2)$，从而可推导出 Jacquet-Shalika $L$-函数的解析性质，如全纯性、函数方程以及在垂直条带中的有界性；并为偶数情形的一般表示建立了带有 $\varepsilon$-因子的局部函数方程。

ABSTRACT

We show that the local exterior square L-functions of GL_n constructed via the theory of integral representations by Jacquet and Shalika coincide with those constructed by the Langlands-Shahidi method for square integrable representations (and for all irreducible representations when n is even). We also deduce several local and global consequences.

研究动机与目标

• 建立 $\mathrm{GL}_n$ 的局部外平方 $L$-函数的两种构造方法之间的等价性：Jacquet 与 Shalika 的积分表示法，以及 Langlands-Shahidi 方法。
• 利用 $L$-函数的全局相等性，推导 Jacquet-Shalika $L$-函数的全局解析性质，如全纯性、函数方程及在垂直条带中的有界性。
• 通过比较两种 $L$-函数构造方法，为偶数情形的平方可积表示与一般表示定义局部 $\varepsilon$-因子，并建立局部函数方程。
• 基于 $L$-函数的等式，通过对称平方 $L$-函数的极点行为，对自对偶平方可积表示进行刻画。

提出的方法

• 使用全局方法，将平方可积表示嵌入为一个 cuspidal 自守表示的局部分量。
• 通过全局 Jacquet-Shalika 积分与 $L_{Sh}(s,\pi,\wedge^2)$ 的商，推导出函数方程与解析行为。
• 应用关于 $L_{Sh}(s,\pi,\wedge^2)$ 在有限与阿代尔位点的最新全纯性与非零结果，推导出 $L_{JS}(s,\pi,\wedge^2)$ 的性质。
• 通过比较有限与阿代尔位点的全局积分商，推导出局部函数方程，从而定义一个不依赖于测试向量的 $\varepsilon$-因子。
• 利用全局函数方程与 $L_{JS} = L_{Sh}$ 的等式，推导出对平方可积表示，$\varepsilon$-因子为整函数且非零。
• 将理论应用于偶数与奇数情形：在偶数情形，函数方程对自守谱中所有一般表示成立；在奇数情形，函数方程对平方可积表示成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过积分表示法（Jacquet-Shalika）与 Langlands-Shahidi 方法构造的 $\mathrm{GL}_n$ 的局部外平方 $L$-函数，对平方可积表示是否相等？
• RQ2 能否从 Jacquet-Shalika $L$-函数与 Langlands-Shahidi $L$-函数的等式出发，推导出其解析性质（如全纯性、函数方程、在垂直条带中的有界性）？
• RQ3 是否能通过积分表示法定义局部 $\varepsilon$-因子，并建立外平方 $L$-函数的局部函数方程？
• RQ4 能否从对称平方 $L$-函数的极点行为，推导出自对偶平方可积表示的刻画？
• RQ5 对 cuspidal 自守表示，全局 $L$-函数 $L_{JS}(s,\pi,\wedge^2)$ 与 $L_{Sh}(s,\pi,\wedge^2)$ 如何比较？

主要发现

• 对 $\mathrm{GL}_n(F_v)$ 的所有不可约平方可积表示，通过 Jacquet-Shalika 积分表示与 Langlands-Shahidi 方法构造的局部外平方 $L$-函数相等。
• 对 $\mathrm{GL}_{2n}(F_v)$ 的不可约一般表示，等式 $L_{JS}(s,\pi_v,\wedge^2) = L_{Sh}(s,\pi_v,\wedge^2)$ 成立，结果可推广至全局情形。
• 作为与 $L_{Sh}(s,\pi,\wedge^2)$ 全局相等的推论，全局 Jacquet-Shalika $L$-函数 $L_{JS}(s,\pi,\wedge^2)$ 是整函数，满足函数方程，并在垂直条带中有界。
• 为偶数情形的平方可积表示与一般表示定义了局部 $\varepsilon$-因子 $\varepsilon_{JS}(s,\pi_v,\psi_v,\wedge^2)$，其满足涉及全局积分商的函数方程。
• $\varepsilon$-因子为整函数且非零，其定义不依赖于测试向量的选择，仅依赖于表示 $\pi_v$。
• 作为与 Langlands-Shahidi $L$-函数等式及 Henniart 结果的推论，对所有相关表示，等式 $L_{JS}(s,\pi_v,\wedge^2) = L(s,\pi_v,\wedge^2)$ 成立。