[论文解读] On the local Bump-Friedberg L-function

Nadir Matringe|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2013

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文证明了对 $GL(n,F)$ 的不可约表示 $\pi$（其中 $F$ 为 $p$-进域），局部 Bump-Friedberg $L$-函数等于 $L(\phi(\pi),s+1/2)L(\phi(\pi),\Lambda^2,2s)$，其中 $\phi(\pi)$ 为 $\pi$ 的 Langlands 参数。证明依赖于对 $\chi_\alpha$-分明的通用表示进行分类，并通过 Whittaker 与 Shalika 周期关系将恒等式约化至离散系列，最终确认了所有不可约表示的猜想因子分解。

ABSTRACT

Let $F$ be a $p$-adic field. If $π$ be an irreducible representation of $GL(n,F)$, Bump and Friedberg associated to $π$ an Euler fator $L(π,BF,s_1,s_2)$ in \cite{BF}, that should be equal to $L(ϕ(π),s_1)L(ϕ(π),Λ^2,s_2)$, where $ϕ(π)$ is the Langlands' parameter of $π$. The main result of this paper is to show that this equality is true when $(s_1,s_2)=(s+1/2,2s)$, for $s$ in $\C$. To prove this, we classify in terms of distinguished discrete series, generic representations of $GL(n,F)$ which are $χ_α$-distinguished by the Levi subgroup $GL([(n+1)/2],F) imes GL([n/2],F)$, for $χ_α(g_1,g_2)=α(det(g_1)/det(g_2))$, where $α$ is a character of $F^*$ of real part between -1/2 and 1/2. We then adapt the technique of \cite{CP} to reduce the proof of the equality to the case of discrete series. The equality for discrete series is a consequence of the relation between linear periods and Shalika periods for discrete series, and the main result of \cite{KR}.

研究动机与目标

• 验证 $GL(n,F)$ 的不可约表示的局部 Bump-Friedberg $L$-函数与标准 $L$-函数乘积 $L(\phi(\pi),s+1/2)L(\phi(\pi),\Lambda^2,2s)$ 之间的猜想等式。
• 对 $GL(n,F)$ 的通用表示进行分类，这些表示被 Levi 子群 $GL([(n+1)/2],F)\times GL([n/2],F)$ 通过特征 $\chi_\alpha(g_1,g_2) = \alpha(\det g_1 / \det g_2)$ 所分明，其中 $\alpha$ 的实部属于 $[-1/2, 1/2]$。
• 推广与 Whittaker 型表示相关的 Rankin-Selberg 积分的函数方程与有理性结果。
• 通过线性周期与 Shalika 周期之间的关系，建立离散系列表示的等式，并利用归纳法与 Langlands 分类将其推广至所有不可约表示。

提出的方法

• 利用 [27] 的结果与 Bernstein-Zelevinsky 导数的性质，将 $GL(n,F)$ 的 $\chi_\alpha$-分明通用表示分类为 $\chi_\alpha$-分明的离散系列。
• 借鉴 [10] 的技术，将 $L$-函数等式的证明约化至离散系列表示的情形。
• 利用单位化离散系列中线性周期与 Shalika 周期之间的关系，将 $L^{\text{lin}}(\Delta,s)$ 与 $L(\phi(\Delta),s+1/2)L(\Lambda^2(\phi(\Delta)),2s)$ 等同。
• 证明当 Rankin-Selberg 积分被 Levi 子群的未分歧特征扭时的有理性，从而确立函数方程与极点结构。
• 对离散系列参数 $k$ 在 $\Delta = \text{St}_k(\rho)$ 中应用归纳法，利用 $L^{\text{lin}}(\pi,\chi_\alpha,s)$ 的可乘性与 $L(\phi(\Delta),\wedge^2,s)$ 的乘积公式。
• 利用 $L^{\text{lin}}(\pi,\chi_\alpha,s)$ 的例外极点仅在 $\pi$ 为 $\chi_\alpha^{-1}$-分明时出现的事实，将极点结构与分明表示的分类联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部 Bump-Friedberg $L$-函数 $L(\pi,BF,s_1,s_2)$ 是否对所有 $GL(n,F)$ 的不可约 $\pi$ 满足 $L(\pi,BF,s+1/2,2s) = L(\phi(\pi),s+1/2)L(\phi(\pi),\Lambda^2,2s)$？
• RQ2 哪些 $GL(n,F)$ 的通用表示满足 $\chi_\alpha(g_1,g_2) = \alpha(\det g_1 / \det g_2)$ 的 $\chi_\alpha$-分明性，其中 $\text{Re}(\alpha) \in [-1/2, 1/2]$？
• RQ3 对于离散系列表示，线性周期 $L^{\text{lin}}(\pi,s)$ 与标准 $L$-函数 $L(\phi(\pi),s+1/2)$ 和 $L(\phi(\pi),\Lambda^2,2s)$ 之间有何关系？
• RQ4 能否通过归纳法与 Langlands 分类，将等式 $L^{\text{lin}}(\pi,s) = L(\phi(\pi),s+1/2)L(\phi(\pi),\Lambda^2,2s)$ 从离散系列推广至所有不可约表示？

主要发现

• 对所有 $GL(n,F)$ 的离散系列表示 $\Delta$，等式 $L^{\text{lin}}(\Delta,s) = L(\phi(\Delta),s+1/2)L(\phi(\Delta),\wedge^2,2s)$ 成立，其证明基于线性周期与 Shalika 周期之间的关系及 [20] 的主要结果。
• 对于实部 $\text{Re}(\alpha) \in [-1/2, 1/2]$ 的 $\chi_\alpha$-分明通用表示，分类结果表明其为 $\chi_\alpha$-分明当且仅当其 Langlands 参数保持某种特定结构，这推广了平凡特征情形下的辛条件。
• $L^{\text{lin}}(\pi,\chi_\alpha,s)$ 的因子满足 Langlands 类型表示在 $\text{Re}(\alpha) \in [-1/2, 0]$ 时的可乘性关系，从而可将问题约化至离散系列。
• 当 Rankin-Selberg 积分 $\Psi(W,\phi,s)$ 被 Levi 子群的未分歧特征扭时，其有理性的结果得以确立，从而保证了其亚纯延拓与函数方程。
• $L^{\text{lin}}(\pi,\chi_\alpha,s)$ 在 $s=0$ 处的例外极点存在，当且仅当 $\pi$ 为 $\chi_\alpha^{-1}$-分明，这将极点结构与分明表示的分类联系起来。
• 主结果被推广至 $GL(n,F)$ 的所有不可约表示 $\tau$，得到 $L^{\text{lin}}(\tau,s) = L(\phi(\tau),s+1/2)L(\phi(\tau),\Lambda^2,2s)$，从而确认了在指定参数下 Bump-Friedberg 猜想。