[论文解读] On the local genus distribution of graph embeddings

Ricky X. F. Chen, Christian M. Reidys|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出一个框架，用于分析图在可定向曲面上的2-胞复叠嵌入中，单个顶点的局部重嵌入如何影响亏格。通过使用平面排列和环结构对顶点重嵌入建模，推导出使亏格增加Δg的重嵌入方式的确切公式，并证明通过局部重构可达到的最小亏格受顶点度数和环类型限制。一个关键结果是关于最小亏格嵌入的必要条件：对每个顶点ν，ℓ(λ(Dν)) + qν = deg(ν) + 1，其中qν是与ν相邻的面数，ℓ(λ(Dν))是局部排列中的环数。

ABSTRACT

The $2$-cell embeddings of graphs on closed surfaces have been widely studied. It is well known that ($2$-cell) embedding a given graph $G$ on a closed orientable surface is equivalent to cyclically ordering the edges incident to each vertex of $G$. In this paper, we study the following problem: given a genus $g$ embedding $ε$ of the graph $G$ and a vertex of $G$, how many different ways of reembedding the vertex such that the resulting embedding $ε'$ is of genus $g+Δg$? We give formulas to compute this quantity and the local minimal genus achieved by reembedding. In the process we obtain miscellaneous results. In particular, if there exists a one-face embedding of $G$, then the probability of a random embedding of $G$ to be one-face is at least $\prod_{ν\in V(G)}\frac{2}{deg(ν)+2}$, where $deg(ν)$ denotes the vertex degree of $ν$. Furthermore we obtain an easy-to-check necessary condition for a given embedding of $G$ to be an embedding of minimum genus.

研究动机与目标

• 理解在可定向曲面上对图的2-胞复叠嵌入中，单个顶点处边的循环顺序重排如何影响亏格。
• 推导出使重嵌入后亏格增加Δg的重嵌入方式的确切公式。
• 表征通过顶点重嵌入可达到的局部最小亏格，并识别嵌入为最小亏格的必要条件。
• 基于局部顶点数据，提供一个可计算的判别准则，用于判断给定嵌入是否为最小亏格嵌入。

提出的方法

• 使用排列将图嵌入建模为胖图：α（边对合）、β（顶点循环顺序）和γ = αβ（面边界）。
• 通过平面排列(sν, πν)q表示顶点ν的局部结构，其中q是与ν相邻的面数。
• 利用排列的环类型分解分析改变顶点处循环顺序如何影响亏格，基于亏格公式：C(β) - C(α) + C(γ) = 2 - 2g。
• 应用置换群理论结果，特别是将一个排列分解为两个具有指定环类型的排列之积的方式数，以计算有效重嵌入的数量。
• 利用公式−⌊(deg(ν)+1−ℓ(λ(Dν))−q)/2⌋ ≤ Δg ≤ ⌊(q−1)/2⌋，推导出单个顶点重嵌入可实现的亏格变化Δg的界限。
• 证明最大亏格仅在每个顶点至多与两个面相邻时实现，且最小亏格由所有顶点ν满足ℓ(λ(Dν)) + qν = deg(ν) + 1的条件表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的Δg，一个在亏格g的嵌入中，单个顶点ν有多少种不同的重嵌入方式可使结果嵌入的亏格为g + Δg？
• RQ2 通过局部重排顶点处边的关联顺序，可实现的亏格变化范围是什么？
• RQ3 通过重新配置单个顶点处边的循环顺序，可达到的最小亏格是多少？
• RQ4 嵌入必须满足何种必要条件才能为最小亏格？该条件如何在每个顶点处局部验证？
• RQ5 在何种条件下顶点重嵌入可保持或增加亏格？此类重嵌入的概率是多少？

主要发现

• 使顶点ν的亏格增加Δg的重嵌入方式数由一个涉及局部排列环类型分解有效方式数的公式给出，最大可能亏格变化受⌊(q−1)/2⌋限制。
• 通过重嵌入顶点ν可达到的最小亏格下界为g − ⌊(deg(ν)+1−ℓ(λ(Dν))−q)/2⌋，其中q是与ν相邻的面数。
• 顶点ν对最小亏格嵌入有贡献的充要条件是ℓ(λ(Dν)) + qν = deg(ν) + 1，其中ℓ(λ(Dν))是局部排列πν中的环数。
• 若任一顶点在嵌入中与三个或更多面相邻，则总存在更高亏格的嵌入，证实最大亏格嵌入要求所有顶点至多与两个面相邻。
• 图G的随机嵌入为单一面嵌入的概率至少为∏ν∈V(G) 2/(deg(ν)+2)，为单一面嵌入的存在性提供了下界。
• 顶点ν的局部亏格变化范围由公式−⌊(deg(ν)+1−ℓ(λ(Dν))−q)/2⌋ ≤ Δg ≤ ⌊(q−1)/2⌋完全表征，且该范围是紧的且可实现的。