[论文解读] On the locating-chromatic number of corona product of graphs

Dian Kastika Syofyan, Suhadi Wido Saputro+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2024

Graph Labeling and Dimension Problems被引用 13

一句话总结

本文为 corona 乘积 G ⊙ H 的定位着色数建立一般界，利用 H 的分量来证明下界，并给出以 χL(G) 与 χL(Ht+K1) 表示的上界；还展示存在性结果并分析树的 Tn ⊙ ¬Km。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a finite, simple, and connected graph. The locating-chromatic number of a graph $G$ can be defined as the cardinality of a minimum resolving partition of the vertex set $V(G)$ such that all vertices have different coordinates and every two adjacent vertices in $G$ is not contained in the same partition class. In this case, the coordinate of a vertex in $G$ is expressed in terms of the distances of this vertex to all partition classes. The corona product of a graph $G$ of order $n$ and a graph $H,$ denoted by $G \odot H,$ is the graph obtained by taking one copy of $G$ and $n$ copies of $H$ and joining the $i^{th}$-vertex of $G$ to every vertex in the $i^{th}$-copy of $H$. In this paper, we determine the sharp general bound of the locating-chromatic number of $G \odot H$ for $G$ is a connected graph and $H$ is an arbitrary graph, or $G$ is a tree graph and $H$ is a complement of complete graph.

研究动机与目标

• 激发并给出图的定位着色数及冠积的定义。
• 在 G 连通且 H 任意，或 G 为树且 H 为完全图的补图的情况下，推广 χL(G ⊙ H) 的界。
• 推导 χL(G ⊙ H) 的下界与上界，并证明达到这些界的存在性结果。
• 将结果专门化到 Tn ⊙ ¬Km 的情形，并分析树相对于完全图的补图的定位着色数。

提出的方法

• 通过解析划分与颜色码来定义定位着色与定位着色数 χL(G)。
• 分解冠积结构：G ⊙ H 由 G 以及附着在 G 的每个顶点上的 H 的拷贝组成。
• 证明引理 2：每个 Ht(u) 至少被分成 χL(Ht + K1) − 1 个颜色类。
• 给出下界 χL(G ⊙ H) ≥ max{ χL(Ht + K1) : t = 1,…,k }（引理 3）。
• 给出上界 χL(G ⊙ H) ≤ χL(G) + ∑t=1..k (χL(Ht + K1) − 1)（引理 4）。
• 结合界，得到定理 1：max χL(Ht+K1) ≤ χL(G ⊙ H) ≤ χL(G) + ∑(χL(Ht+K1) − 1)。
• 给出基于构造的定理 2–4，展示达到或位于这些界之间的图的存在性。
• 分析特殊情形 Tn ⊙ ¬Km 并导出相关界（定理 5–8）。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定连通的 G 与任意 H，冠积 G ⊙ H 的定位着色数的尖锐一般界是什么？
• RQ2 H 的分量结构如何通过 χL(Ht + K1) 影响 χL(G ⊙ H)？
• RQ3 在何种条件下定理 1 的下界和上界趋于等值或并不收紧？
• RQ4 涉及树的冠积，特别是 Tn ⊙ ¬Km 的 χL 行为如何，χL(Tn) 如何影响结果？

主要发现

• 一个普遍的下界：χL(G ⊙ H) ≥ max{ χL(Ht + K1) : t = 1,…,k }。
• 一个显式的普遍上界：χL(G ⊙ H) ≤ χL(G) + ∑t=1..k (χL(Ht + K1) − 1)。
• 定理 1 给出适用于任意连通 G 和任意具有 k 个分量的 H 的尖锐界。
• 存在性结果表明下界在某些情形可达到紧界（定理 2），上界在某些构造中也可达到紧界（定理 3）。
• 存在 χL(G ⊙ H) 严格位于普通界之间的情形，并给出 Tn ⊙ ¬Km 的具体结果（定理 5–8）。
• 论文还专门讨论 H = ¬Km 的冠积，以获得树的具体界。