[论文解读] On the Locating Chromatic Number of the Cartesian Product of Graphs

Ali Behtoei, Behnaz Omoomi|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2011

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 4被引用 12

一句话总结

本文确定了路径与完全图的笛卡尔积的定位色数，具体为 $P_m \square P_n$、$K_m \square P_n$ 和 $K_m \square K_n$。研究证明当 $m = m_0 = \max\{k \mid k(k-1)-1 \leq n\}$ 时，$\chi_L(K_m \square K_n) = n+1$，并推测该结论在更广泛的 $n$ 和 $m$ 范围内也成立。结果通过组合着色技术与基于霍尔条件的拉丁矩形构造得出。

ABSTRACT

Let $c$ be a proper $k$-coloring of a connected graph $G$ and $Π=(C_1,C_2,...,C_k)$ be an ordered partition of $V(G)$ into the resulting color classes. For a vertex $v$ of $G$, the color code of $v$ with respect to $Π$ is defined to be the ordered $k$-tuple $c_{{}_Π}(v):=(d(v,C_1),d(v,C_2),...,d(v,C_k)),$ where $d(v,C_i)=\min\{d(v,x) | x\in C_i\}, 1\leq i\leq k$. If distinct vertices have distinct color codes, then $c$ is called a locating coloring. The minimum number of colors needed in a locating coloring of $G$ is the locating chromatic number of $G$, denoted by $\Cchi_{{}_L}(G)$. In this paper, we study the locating chromatic number of grids, the cartesian product of paths and complete graphs, and the cartesian product of two complete graphs.

研究动机与目标

• 确定路径与完全图的笛卡尔积的精确定位色数，包括 $P_m \square P_n$、$K_m \square P_n$ 和 $K_m \square K_n$。
• 为由笛卡尔积构成的网格状图的定位色数建立界限并确定精确值。
• 通过基于距离的色码与组合构造，探索产品图中定位着色的结构约束。
• 提出并论证关于 $K_m \square K_n$ 及相关图的定位色数的开放猜想。

提出的方法

• 通过将顶点划分为有序颜色类，定义适当的 $k$-着色，每个顶点根据其到各颜色类的距离被赋予一个色码。
• 顶点 $v$ 的色码为 $k$-元组 $(d(v, V_1), \dots, d(v, V_k))$，不同色码确保为定位着色。
• 本文基于拉丁矩形构造为 $K_m \square K_n$ 中的顶点分配颜色，通过霍尔条件保证完美匹配，从而确保色码互异。
• 对于 $K_m \square K_n$，方法涉及逐行插入颜色，保持每种颜色在唯一行或列配置中出现，以维持色码的唯一性。
• 证明依赖于验证每一步中可用的非满色数超过所需插入数，从而满足霍尔条件。
• 使用上界 $\chi_L(G \square H) \leq \chi_L(G) \cdot \chi_L(H)$ 作为产品图中构造着色的基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 笛卡尔积 $P_m \square P_n$ 的定位色数的确切值是什么？
• RQ2 $K_m \square P_n$ 和 $K_m \square K_n$ 的定位色数行为如何？
• RQ3 当 $m$ 接近 $\sqrt{n}$ 时，$K_m \square K_n$ 的定位色数能否被界定或精确确定？
• RQ4 在何种条件下 $\chi_L(K_m \square K_n) = n+1$ 成立？
• RQ5 是否存在 $\chi_L(G \square H)$ 的一般上界，以 $\chi_L(G)$ 和 $\chi_L(H)$ 表示，且该上界能否改进？

主要发现

• 当 $m, n \geq 2$ 时，网格图 $P_m \square P_n$ 的定位色数恰好为 3，扩展了关于路径的已知结果。
• 当 $m = m_0 = \max\{k \mid k(k-1)-1 \leq n\}$ 时，$K_m \square P_n$ 的定位色数为 $n+1$，且该值被推测在更广泛的 $n$ 范围内成立。
• 本文证明当 $m = m_0$ 且 $n$ 满足 $m_0(m_0-1)-1 \leq n \leq (m_0(m_0-1)-1) + (m_0-2)$ 时，$\chi_L(K_m \square K_n) = n+1$。
• 通过拉丁矩形与霍尔定理的构造，确保当 $m = m_0$ 时，$K_m \square K_n$ 存在使用 $n+1$ 种颜色的定位着色。
• 本文推测对于所有 $n \geq 3$ 和 $m = m_0$，有 $\chi_L(K_m \square K_n) = n+1$，并进一步推测当 $\lceil(n+3)/2\rceil < m \leq n$ 时，$\chi_L(K_m \square K_n) = n+3$。
• 推测对于足够大的 $m$ 和 $n$，有 $\chi_L(K_m \square C_n) = \chi_L(K_m \square P_n)$，表明环与路径的积具有类似的行为。