[论文解读] On the locus of curves with an odd subcanonical marked point

André Contiero, Aislan Leal Fontes|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文利用Pinkham的等变形变理论与canonical理想中的syzygy分析，构建了具有奇子典型标记点的光滑曲线模空间的显式紧化。关键贡献在于证明了在亏格 ≤ 6 时模空间的有理性，通过单变量Gorenstein曲线的形变，为亏格5和6的情形提供了显式方程。

ABSTRACT

We present an explicit construction of a compactification of the locus of smooth curves whose symmetric Weierstrass semigroup at a marked point is odd. The construction is an extension of Stoehr's techniques using Pinkham'sequivariant deformation of monomial curves by exploring syzygies. As an application we prove the rationality of the locus for genus at most six.

研究动机与目标

• 构建具有奇子典型标记点的光滑曲线模空间的显式紧化。
• 将Stoehr的技术扩展至通常对对称半群的限制之外，特别是避免双曲型和奇Weierstrass半群。
• 通过syzygy分析研究奇对称半群 $\mathcal{S}$ 的模空间 $\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}$ 的整体几何结构。
• 通过在加权射影空间中构造显式方程，证明 $\overline{\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}}$ 在 $g \leq 6$ 时的有理性。

提出的方法

• 利用Pinkham的等变形变理论，形变与奇对称半群 $\mathcal{S}$ 相关的单变量Gorenstein曲线的canonical理想。
• 通过分析canonical理想的syzygy，控制形变空间，并将紧化构造为 $\mathbb{P}(T^{1,-}(\mathbf{k}[\mathcal{S}]))$ 中的闭子概形。
• 使用第一余切复形 $T^{1,-}(\mathbf{k}[\mathcal{S}])$ 的负度部分作为紧化模空间的环境空间。
• 应用Buschweitz对障碍空间 $T^2$ 的描述，检测亏格5和6情形下的非平凡障碍。
• 导出 $\overline{\mathcal{M}_{6,1}^{\mathcal{S}}}$ 的显式等高多项式方程，以形变参数表示。
• 在设定 $a_5 = 1$ 后，通过有理函数参数化模空间的局部结构，确认其有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在Stoehr原始框架之外，为具有奇子典型标记点的曲线模空间构造显式紧化？
• RQ2 canonical理想的syzygy如何影响具有奇对称半群的单变量Gorenstein曲线的形变理论？
• RQ3 对于亏格 $g \leq 6$ 的奇对称半群 $\mathcal{S}$，$\overline{\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}}$ 的几何结构如何？
• RQ4 当存在光滑化障碍时，模空间 $\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}$ 在 $g \leq 6$ 时是否具有有理性，特别是？
• RQ5 余切复形 $T^1$ 和 $T^2$ 在决定紧化模空间的有理性和结构中起什么作用？

主要发现

• 模空间 $\overline{\mathcal{M}_{6,1}^{\mathcal{S}}}$ 显式地描述为15个变量中五个等高多项式 $\vartheta_{13}, \vartheta_{15}, \vartheta_{16}, \vartheta_{17}, \vartheta_{19}$ 的零点集。
• $\overline{\mathcal{M}_{6,1}^{\mathcal{S}}}$ 的局部参数化是有理的，其中 $b_{10}, b_{12}, b_8$ 可以用 $a_4, a_5=1, a_7, a_8, a_9, b_3, b_4, b_5, b_6, b_8, b_{10}, b_{11}, b_{12}$ 有理表示。
• 在亏格5且 $\mathcal{S} = \langle 5,6,7,8\rangle$ 时，$T^2$ 的度数 $-9$ 部分维数为1，表明存在非平凡的光滑化障碍。
• 在亏格6且 $\mathcal{S} = \langle 6,7,8,9,10\rangle$ 时，$T^2$ 的度数 $-13$ 部分维数为1，确认障碍空间非零。
• 紧化 $\overline{\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}}$ 是加权射影空间 $\mathbb{P}(T^{1,-}(\mathbf{k}[\mathcal{S}]))$ 中的闭子概形，通过syzygy分析构造。
• 尽管 $T^2$ 非平凡，$\mathcal{M}_{g,1}^{\mathcal{S}}$ 在 $g \leq 6$ 时的有理性通过显式有理参数化得到确认。