[论文解读] On the locus of points of high rank

Jarosław Buczyński, Kangjin Han+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究了关于非退化不可约射影代数簇 $X$ 的高秩点的轨迹，重点关注秩超过一般秩的情形。它建立了高秩轨迹 $W_k$（$k > g$）的嵌套结构，证明了维数界，并将其应用于确定曲线和齐次空间（包括Veronese和Segre嵌入）的最大秩，表明高秩点的数量比以往认为的更多。

ABSTRACT

Given a closed subvariety X in a projective space, the rank with respect to X of a point p in this projective space is the least integer r such that p lies in the linear span of some r points of X. Let W_k be the closure of the set of points of rank with respect to X equal to k. For small values of k such loci are called secant varieties. This article studies the loci W_k for values of k larger than the generic rank. We show they are nested, we bound their dimensions, and we estimate the maximal possible rank with respect to X in special cases, including when X is a homogeneous space or a curve. The theory is illustrated by numerous examples, including Veronese varieties, the Segre product of dimensions (1,3,3), and curves. An intermediate result provides a lower bound on the dimension of any GL_n orbit of a homogeneous form.

研究动机与目标

• 理解相对于射影代数簇 $X$ 的秩高于一般秩的点的结构与几何性质。
• 分析当 $g$ 为一般秩时，轨迹 $W_k = \overline{\{p \in \mathbb{P}^N : \operatorname{rank}_X(p) = k\}}$（$k > g$）的性质。
• 对高秩轨迹的维数进行界定，并建立其与弦簇之间的包含关系。
• 确定特定类代数簇（包括曲线和齐次空间）的最大可能秩。
• 为简洁齐次型的 $\mathrm{GL}_n$-轨道维数提供下界，即使其对应的超曲面为奇异或可约时亦成立。

提出的方法

• 将点 $p$ 关于 $X$ 的秩定义为：其线性张成包含 $p$ 的 $X$ 上点的最小数目。
• 将轨迹 $W_k$ 定义为秩恰好为 $k$ 的点的集合的闭包，从而将经典弦簇概念扩展至超过一般秩的情形。
• 建立一个关键嵌套结果：当 $k > g$ 时，$W_k$ 与 $X$ 的连结包含于 $W_{k-1}$，从而推出 $W_k \subseteq W_{k-1}$。
• 利用该嵌套关系，为 $k > g$ 的 $W_k$ 维数导出上界。
• 运用表示论与几何方法，分析齐次型在 $\mathrm{GL}_n$ 作用下的轨道。
• 通过在二次曲面上的投影与伴随论证，研究双次数为 $(a,b)$ 的曲线的秩轨迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k > g$（一般秩）时，轨迹 $W_k$ 的结构如何？这些轨迹与弦簇有何关系？
• RQ2 能否对 $k > g$ 时的 $W_k$ 维数进行界定？其对高秩点几何性质有何影响？
• RQ3 对于给定代数簇 $X$，张量或对称张量的最大可能秩是多少，特别是当 $X$ 为曲线或齐次空间时？
• RQ4 达到最大秩的点的轨迹有多大？能否建立其维数的下界？
• RQ5 即使相关超曲面为奇异或非约的，简洁齐次型的 $\mathrm{GL}_n$-轨道维数是多少？

主要发现

• 对于 $k > g$ 的高秩轨迹 $W_k$，其具有嵌套结构：$W_k \subseteq W_{k-1}$，且更强地，$W_k$ 与 $X$ 的连结包含于 $W_{k-1}$。
• 对于光滑二次曲面上一般双次数为 $(a,b)$ 的曲线，当 $a \geq 4$，$b \geq 1$ 时，$W_3$ 为空集，因此最大秩为 2。
• 对于 $\mathbb{P}^3$ 中的一般椭圆四次曲线（双次数为 $(2,2)$），$W_3$ 是一条与原曲线不相交的八次曲线，恰好包含 4 个秩为 2 的点。
• 对称张量达到最大秩的轨迹的维数至少为 $\dim \mathrm{GL}_n / \mathrm{Stab}(F)$，即使 $F$ 不光滑，该下界依然成立。
• 明确计算了 $2 \times 2n \times 2n$ 张量达到最大秩的轨迹的维数。
• 对于 $2 \times 4 \times 4$ 张量，本文完全刻画了所有秩高于一般秩的点，表明它们均位于某个特定代数集内。