[论文解读] On the long range correlations of thermodynamic systems out of equilibrium

Lorenzo Bertini, Alberto De Sole+3 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2007

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用 10

一句话总结

本文通过非平衡自由能的哈密顿-雅可比方程，推导出非平衡热力学系统中两点关联函数的一般方程。结果表明，由于非线性流体动力学效应，长程关联具有普遍性，并基于输运系数提供了一种判断涨落正相关或负相关的判据。

ABSTRACT

Experiments show that macroscopic systems in a stationary nonequilibrium state exhibit long range correlations of the local thermodynamic variables. In previous papers we proposed a Hamilton-Jacobi equation for the nonequilibrium free energy as a basic principle of nonequilibrium thermodynamics. We show here how an equation for the two point correlations can be derived from the Hamilton-Jacobi equation for arbitrary transport coefficients for dynamics with both external fields and boundary reservoirs. In contrast with fluctuating hydrodynamics, this approach can be used to derive equations for correlations of any order. Generically, the solutions of the equation for the correlation functions are non-trivial and show that long range correlations are indeed a common feature of nonequilibrium systems. Finally, we establish a criterion to determine whether the local thermodynamic variables are positively or negatively correlated in terms of properties of the transport coefficients.

研究动机与目标

• 建立一个超越涨落流体动力学的非平衡系统关联函数推导的一般框架。
• 表明由于非线性流体动力学效应，长程关联是非平衡稳态的普遍特征。
• 基于输运系数的结构特性，推导出判断关联符号（正或负）的判据。
• 将哈密顿-雅可比形式化方法的应用范围扩展至任意阶关联函数，而不仅限于线性化近似。

提出的方法

• 将非平衡自由能量表述为仅依赖于宏观输运系数（扩散与迁移率）的哈密顿-雅可比方程的解，而不依赖于微观细节。
• 利用勒让德对偶性，将哈密顿-雅可比方程转化为涉及生成泛函 $ G(\lambda) $ 的泛函方程，其中 $ \lambda $ 表示化学势的微扰。
• 通过将 $ G(\lambda) $ 展开至 $ \lambda $ 的二次项，推导出两点关联函数 $ B(x,y) $ 的线性偏微分方程，从而在空间上得到一个二阶偏微分方程。
• 应用分部积分法与算子记号，推导出方程 $ L^\dagger B + B L = -h $，其中 $ h $ 为乘法算子，$ L^\dagger $ 为与流体动力学演化相关的微分算子。
• 在特定模型（如排除过程和KMP过程）中求解所得方程的 $ B(x,y) $，揭示其非平凡的长程行为。
• 确立关联符号取决于迁移率的导数 $ \chi' $ 与电流 $ \bar{J} $ 的关系，即 $ \partial_i(\chi'_{ij} D^{-1}_{jk} \bar{J}_k) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 非平衡自由能的哈密顿-雅可比方程能否用于推导任意阶关联函数的方程？
• RQ2 非平衡稳态中长程关联的符号由什么决定？
• RQ3 输运系数——特别是扩散与迁移率——如何决定两点关联函数的结构？
• RQ4 为何即使在局域平衡成立的情况下，非平衡系统中仍会出现长程关联？
• RQ5 哈密顿-雅可比方法在多大程度上可超越涨落流体动力学，用于描述非平衡涨落？

主要发现

• 两点关联函数 $ B(x,y) $ 满足由哈密顿-雅可比方程导出的线性偏微分方程，该方程显式依赖于稳态下评估的输运系数。
• 关联方程的解表现出非平凡的长程行为，证实了由于非线性流体动力学效应，长程关联是非平衡系统的一般特征。
• 局部热力学变量之间关联的符号由组合 $ \partial_i(\chi'_{ij} D^{-1}_{jk} \bar{J}_k) $ 决定，该组合依赖于迁移率的导数与电流。
• 对于具有恒定外场的排除过程和KMP过程，所推导的关联函数作为特例与已知结果一致，验证了该框架的有效性。
• 该方法适用于同时具有外场和边界 reservoir 的系统，且可推广至任意维度与任意输运系数。
• 该方法可推导高阶关联函数的方程，克服了涨落流体动力学的一个关键局限。