[论文解读] On the longest common subsequence of independent random permutations invariant under conjugation

Mohamed Slim Kammoun|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用 1

一句话总结

本文建立了在配对独立随机排列下，这些排列在共轭下不变时，最长公共子序列（LCS）期望长度的渐近下界。通过分析复合排列 σ₁⁻¹∘σ₂ 的最长递增子序列，证明了当一个排列的分布满足共轭不变性且其循环数受良好控制时，LCS 期望至少为 2√n 的阶。关键结果是，在较弱条件下，LCS 的波动收敛于 Tracy-Widom 分布，即使对第二个排列的分布未作任何假设。

ABSTRACT

Bukh and Zhou conjectured that the expectation of the length of the longest common subsequence of two i.i.d random permutations of size $n$ is greater than $\sqrt{n}$. We prove in this paper that there exists a universal constant $n_1$ such that their conjecture is satisfied for any pair of i.i.d random permutations of size greater than $n_1$ with distribution invariant under conjugation. We prove also that asymptotically, this expectation is at least of order $2\sqrt{n}$ which is the asymptotic behaviour of the uniform setting. More generally, in the case where the laws of the two permutations are not necessarily the same, we gibe a lower bound for the expectation. In particular, we prove that if one of the permutations is invariant under conjugation and with a good control of the expectation of the number of its cycles, the limiting fluctuations of the length of the longest common subsequence are of Tracy-Widom type. This result holds independently of the law of the second permutation.

研究动机与目标

• 解决 Bukh 和 Zhou（2016）提出的猜想，即对于 i.i.d. 随机排列，E[LCS] ≥ √n。
• 在至少一个排列的分布关于共轭不变时，建立 E[LCS] 的精确渐近下界。
• 刻画在共轭不变分布下 LCS 长度的极限分布，特别是识别出 Tracy-Widom 波动。
• 通过推导当两个排列具有不同分布时的界限，将结果推广至 i.i.d. 情况之外。

提出的方法

• 利用恒等式 LCS(σ₁, σ₂) = ℓ(σ₁⁻¹ ∘ σ₂)，将问题转化为研究复合排列的最长递增子序列（LIS）。
• 应用与 Sₙ 上均匀分布及对合元上的比较技术，以推导下界。
• 通过共轭不变的 σ₁,n 与均匀随机排列之间的耦合论证，控制波动。
• 利用关于均匀随机排列 LIS 的 Tracy-Widom 极限定理的已知结果。
• 利用 Vershik-Kerov-Logan-Shepp 极限形状及通过涉及 Ω(s) 的积分定义的函数 G，刻画渐近常数。
• 应用 Jensen 不等式及对循环数和不动点的集中不等式，推导最终的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于两个 i.i.d. 共轭不变随机排列，其 LCS 期望是否渐近超过 √n？
• RQ2 在共轭不变性及不动点概率趋于零的条件下，能否为 E[LCS] 建立 2√n 阶的下界？
• RQ3 当 σ₁,n 为共轭不变且循环数较少时，LCS(σ₁,n, σ₂,n) 的极限波动为何？
• RQ4 当两个排列具有不同分布但其中一个为共轭不变时，LCS 期望的行为如何？
• RQ5 当一个排列为共轭不变时，Tracy-Widom 分布是否为 LCS 波动的普遍极限，无论第二个排列的分布为何？

主要发现

• 对于 i.i.d. 共轭不变排列，有 lim infₙ→∞ E[LCS]/√n ≥ 2，证实了 Bukh-Zhou 猜想的加强版本。
• 在共轭不变性及不动点概率趋于零的条件下，E[LCS]/√n → 2 且在分布上收敛于 Tracy-Widom 分布。
• 若 σ₁,n 的期望循环数为 o(√n)，则 LCS(σ₁,n, σ₂,n)/√n 在分布上收敛于 Tracy-Widom 分布。
• 建立了形如 E[LCS]/√n ≥ G⁻¹(𝔼[#(σ₁,n)/(2n)]) 的下界，其中 G 是由随机排列极限形状导出的函数。
• 下界中的渐近常数为 2√θ ≈ 0.564，其中 θ 满足 G(2√x) = (2 + x)/12。
• 该结果具有普遍性：对 σ₂,n 的分布无任何假设，即使其为任意分布或非不变分布亦成立。