[论文解读] On the Lovász Theta function for Independent Sets in Sparse Graphs

Nikhil Bansal, Anupam Gupta+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 1被引用 7

一句话总结

该论文将最大独立集问题在有界度图上的Lovász θ函数SDP的整数规划间隙从˜O(d/log d)改进至˜O(d/log^{3/2}d)，利用了关于Kr-free图中独立性的新型Ramsey理论界。此外，通过Johansson染色法，该工作还提供了SA+层级更强结果的算法版本，实现了˜O(d/log^2 d)的近似比，与唯一性游戏假设下已知的最佳下界一致。

ABSTRACT

We consider the maximum independent set problem on graphs with maximum degree~$d$. We show that the integrality gap of the Lovász $\vartheta$-function based SDP is $\widetilde{O}(d/\log^{3/2} d)$. This improves on the previous best result of $\widetilde{O}(d/\log d)$, and almost matches the integrality gap of $\widetilde{O}(d/\log^2 d)$ recently shown for stronger SDPs, namely those obtained using poly-$(\log(d))$ levels of the $SA^+$ semidefinite hierarchy. The improvement comes from an improved Ramsey-theoretic bound on the independence number of $K_r$-free graphs for large values of $r$. We also show how to obtain an algorithmic version of the above-mentioned $SA^+$-based integrality gap result, via a coloring algorithm of Johansson. The resulting approximation guarantee of $\widetilde{O}(d/\log^2 d)$ matches the best unique-games-based hardness result up to lower-order poly-$(\log\log d)$ factors.

研究动机与目标

• 将最大独立集问题在有界度图上的标准SDP的近似比与整数规划间隙之间的差距缩小。
• 通过利用Kr-free图中更强的Ramsey理论界，改进Lovász θ函数SDP先前的˜O(d/log d)整数规划间隙。
• 为SA+层级结果提供算法版本，实现˜O(d/log^2 d)的整数规划间隙，与唯一性游戏假设下最佳已知下界一致。
• 通过证明更紧的整数规划间隙，表明标准SDP松弛即使在不提升的情况下也比以往认为的更强大。

提出的方法

• 为大r值的Kr-free图导出独立数的新型Ramsey理论界，从而改进对稀疏图结构的理解。
• 利用改进的Ramsey界，建立标准Lovász θ函数SDP松弛的更紧整数规划间隙上界。
• 应用Johansson的染色算法，将非构造性的SA+层级结果转化为高效的近似算法。
• 利用矩集中不等式和Lovász局部引理，分析随机舍入过程中罕见事件的概率。
• 结合Shearer和Alon的基于熵的分析方法与提升SDP中局部分布的结构，以界定独立数。
• 利用SA+层级的局部分布特性，论证每个polylog(d)大小的子图必须包含一个较大的独立集，从而实现全局界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界度图中，标准Lovász θ函数SDP在最大独立集问题上的整数规划间隙能否超越˜O(d/log d)？
• RQ2 当r较大时，Kr-free图的独立数的最紧可能Ramsey理论界是什么？
• RQ3 能否将SA+层级中非构造性的整数规划间隙结果转化为稀疏图中独立集问题的算法？
• RQ4 标准SDP松弛在有界度图中相较于以往基于SDP的近似算法，其优势程度如何？

主要发现

• 在最大度为d的图中，标准Lovász θ函数SDP在最大独立集问题上的整数规划间隙至多为˜O(d/log^{3/2}d)。
• 该结果改进了先前已知的˜O(d/log d)上界，且是首个在不使用提升技术下对标准SDP的此类改进。
• 该改进源于对大r值下Kr-free图独立数的新型Ramsey理论界，其紧于以往结果。
• 通过Johansson染色法，获得了SA+层级˜O(d/log^2 d)整数规划间隙的算法版本，从而得到一个˜O(d/log^2 d)-近似算法。
• 所得近似保证与唯一性游戏假设下最佳已知下界相比，仅相差poly(log log d)因子。
• 本文表明，标准SDP比以往认为的更强大，其整数规划间隙优于早期基于SDP的算法。