[论文解读] On the lower bound of the discrepancy of $(t,s)$ sequences: II

Mordechay B. Levin|arXiv (Cornell University)|May 19, 2015

Mathematical Approximation and Integration参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文建立了 $(t,s)$ 序列离散度的严格下界，证明对于 Niederreiter-Xing 序列及其相关构造，对所有平移向量 $\mathbf{w} \in [0,1)^s$，均有 $N D^* \leq K m^s$ 成立，其中 $m = \log_b N$。该结果证实了离散度已知的 $O(\ln^s N)$ 上界为最优，支持了高维准蒙特卡罗方法中最小可能离散度增长速率的长期猜想。

ABSTRACT

Let $ (\bx(n))_{n \geq 1} $ be an $s-$dimensional Niederreiter-Xing sequence in base $b$. Let $D((\bx(n))_{n = 1}^{N})$ be the discrepancy of the sequence $ (\bx(n))_{n = 1}^{N} $. It is known that $N D((\bx(n))_{n = 1}^{N}) =O(\ln^s N)$ as $N o \infty $. In this paper, we prove that this estimate is exact. Namely, there exists a constant $K>0$, such that $$ \inf_{\bw \in [0,1)^s} \sup_{1 \leq N \leq b^m} N D((\bx(n)\oplus \bw)_{n = 1}^{N}) \geq K m^s \quad { m for} \; \; m=1,2,...\;. $$ We also get similar results for other explicit constructions of $(t,s)$ sequences.

研究动机与目标

• 建立所有平移向量 $\mathbf{w} \in [0,1)^s$ 下 $(t,s)$ 序列离散度的非渐近、通用下界。
• 通过证明匹配的 $\Omega(\ln^s N)$ 下界，验证离散度已知的 $O(\ln^s N)$ 上界是否紧致。
• 将 $d$-可容许性框架扩展至 Niederreiter-Xing 和 Halton 型序列等显式构造，借助代数函数域理论实现离散度下界的推导。
• 确认高维低离散度序列中离散度增长速率 $N D^* \sim (\ln N)^s$ 的猜想为最优。

提出的方法

• 利用 $(t,s)$ 序列的 $d$-可容许性性质，通过点与索引之间差值的 $b$-进赋值来控制数字平移下的离散度行为。
• 通过 $\mathbb{F}_b$ 上的代数函数域递归构造点集，利用 $\hat{x}_n^{(s+1,k)}$ 的结构定义保持 $b$-进赋值的双射 $h_k(n)$。
• 使用变换 $h^{-1}(n)$ 重新索引序列，使得平移序列 $({\bf x}_{h^{-1}(n)} \oplus \mathbf{w})$ 继承原始序列的 $d$-可容许性与网结构。
• 利用引理 B 和推论 2 将变换后序列的离散度与 $(t,m_{k},s+1)$-网的离散度关联，从而在更高维度中应用已知的离散度下界。
• 证明 $({\bf x}_n \oplus \mathbf{w}, h(n)/b^{m_k})$ 构成有效的 $(t,m_k,s+1)$-网，确保离散度下界对所有平移 $\mathbf{w}$ 一致适用。
• 推导关键不等式 $\sigma \geq \min_{Q,\mathbf{w}} b^{m_k} D^* \geq K b^{-d} K_{d,t,s+1}^{-s} m^s$，从而得出 $N D^*$ 的 $\Omega(m^s)$ 下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 $(t,s)$ 序列的离散度 $O(\ln^s N)$ 上界是否对所有平移向量 $\mathbf{w} \in [0,1)^s$ 均为紧致？
• RQ2 Niederreiter-Xing 和 Halton 型序列等显式构造是否可建立 $d$-可容许性性质？
• RQ3 这些序列的离散度是否满足与平移无关的 $\Omega(\ln^s N)$ 通用下界？
• RQ4 已知显式 $(t,s)$ 序列的猜想最优离散度增长速率 $N D^* \sim (\ln N)^s$ 是否可被确认？

主要发现

• 对于基为 $b$ 的 Niederreiter-Xing 序列，存在常数 $K > 0$，使得对所有 $m \geq 1$，有 $\inf_{\mathbf{w} \in [0,1)^s} \sup_{1 \leq N \leq b^m} N D^*((\mathbf{x}_n \oplus \mathbf{w})_{n=1}^N) \geq K m^s$。
• 离散度的 $O(\ln^s N)$ 上界是紧致的，因为下界以 $\Omega(\ln^s N)$ 的速率增长，与已知渐近速率一致。
• $d$-可容许性性质适用于 Niederreiter-Xing 和 Halton 型 $(t,s)$ 序列，从而可推导出对所有平移的统一下界。
• 离散度下界对所有平移向量 $\mathbf{w} \in [0,1)^s$ 一致成立，而不仅限于某些或典型平移。
• 该结果支持长期存在的猜想：对所有 $N$-点集及 $[0,1)^s$ 中的序列，均有 $N D^* \geq C_s (\ln N)^s$，且常数 $C_s$ 为最优。
• 该证明方法可通过代数函数域与 $b$-进赋值结构推广至其他显式 $(t,s)$ 序列，表明其具有广泛适用性。