[论文解读] On the Luttinger theorem concerning number of particles in the ground states of systems of interacting fermions

Behnam Farid|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2007

Advanced Physical and Chemical Molecular Interactions参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文严格重新审视了相互作用费米子的Luttinger定理，证明其在具有短程相互作用的系统（如晶格模型）中无条件成立，无论相互作用强度如何。通过证明骨架图中微扰自能展开的统一收敛性并分析零温极限，作者表明，表观违反源于错误的格林函数或误用，除了一种涉及绝缘态的特殊情况，其中错误的零温极限可能导致真正的失效。

ABSTRACT

We analyze the original proof by Luttinger and Ward of the Luttinger theorem, according to which for uniform ground states of systems of (interacting) fermions, which may be metallic or insulating, the number of k points corresponding to non-negative values of G_s(k;mu) is equal to the total number of particles with spin index s in these ground states. Here G_s(k;mu) is the single-particle Green function of particles with spin index s at the chemical potential mu. For the cases where the two-body interaction potential is short-range, and in particular for lattice models, we explicitly demonstrate that this theorem is unconditionally valid, irrespective of the strength of the bare interaction potential. We arrive at this conclusion by amongst other things demonstrating that the perturbation series expansion for self-energy in terms of skeleton diagrams, as encountered in the proof of the Luttinger-Ward identity, is uniformly convergent for almost all momenta and energies. We further investigate the mechanisms underlying some reported instances of failure of the Luttinger theorem. With one exception, for all the cases considered in this paper, we show that the apparent failures of the Luttinger theorem can be attributed either to shortcomings of the employed single-particle Green functions or to misapplication of this theorem. The one exceptional case brings to light the possibility of a genuine failure of the Luttinger theorem for insulating ground states, which we show to be brought about by a false limit that in principle can be reached on taking the zero-temperature limit without the value of mu coinciding with the zero-temperature limit of the chemical potential satisfying the equation of state at finite temperatures; no such ambiguity can arise for metallic states.

研究动机与目标

• 重新表述并严格验证均匀基态中相互作用费米子的Luttinger定理，包括金属相和绝缘相。
• 通过识别格林函数定义中的错误或定理误用，解决报告的Luttinger定理失效实例。
• 研究在绝缘态中可能出现真正失效的例外情况，原因在于错误的零温极限。
• 建立几乎所有动量和能量下骨架图中微扰自能级数的统一收敛性。
• 阐明在零温极限下，Luttinger数等于占据数之和的条件。

提出的方法

• 使用微扰论和自能的骨架图展开分析原始的Luttinger-Ward证明。
• 证明对于几乎所有 $\mathbf{k}$ 和 $z$，级数 $\sum_{\nu=1}^{\infty}\tilde{\Sigma}_{\sigma}^{(\nu)}(\mathbf{k};z)$ 的统一收敛性，确保数学上的稳健性。
• 应用围道积分技术计算占据数 $\bar{\nu}_{\sigma}^{(1)}(\mathbf{k})$ 的零温极限，重点关注解析性及无穷远处的衰减。
• 利用格林函数 $\tilde{G}_{\sigma}(\mathbf{k};z)$ 和自能 $\tilde{\Sigma}_{\sigma}(\mathbf{k};z)$ 在大 $|z|$ 时的渐近展开，评估被积函数的行为。
• 研究 $\tilde{G}_{\sigma}(\mathbf{k};z)\partial\tilde{\Sigma}_{\sigma}(\mathbf{k};z)/\partial z$ 在 $z = \mu$ 附近的性质，以确定占据数极限的有界性。
• 在局域极限下考虑对称与非对称情况，特别是在一维Luttinger模型中，以检验定理的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有短程相互作用的相互作用费米子系统中Luttinger定理无条件成立？
• RQ2 为何一些研究报告了Luttinger定理的表观失效，这些失效是否可归因于格林函数或自能定义中的技术性错误？
• RQ3 Luttinger定理是否可能在绝缘基态中真正失效，若如此，其动力学或热力学条件是什么？
• RQ4 在晶格模型中，骨架图中自能的微扰展开是否对所有相关动量和能量都具有统一收敛性？
• RQ5 占据数 $\bar{\nu}_{\sigma}^{(1)}(\mathbf{k})$ 的零温极限行为如何，尽管格林函数存在奇点，是什么确保了其有界性？

主要发现

• Luttinger定理在具有短程相互作用的系统中无条件成立，包括晶格模型，无论排斥相互作用的强度如何。
• 骨架图中自能的微扰级数对几乎所有 $\mathbf{k}$ 和 $z$ 统一收敛，确保了Luttinger-Ward恒等式的数学一致性。
• 先前研究中报告的Luttinger定理表观失效可归因于错误的格林函数或定理误用，而非定理本身存在缺陷。
• 在一维Luttinger模型中，由于被积函数衰减慢于 $1/y$，对所有 $\mathbf{k}$（包括 $k=0$ 和 $k\neq0$）有 $\lim_{\beta\to\infty}\bar{\nu}_{\sigma}^{(2)}(\mathbf{k})$ 有界。
• 对于 $k=0$，被积函数的主导渐近行为为 $\sim - (1-2\gamma_0)/iy$，其为纯虚数且可积。
• 唯一可能出现真正失效的情况是绝缘态中错误地取零温极限，此时 $\mu$ 不匹配有限温度的状态方程。