[论文解读] On the Manin-Mumford and Mordell-Lang conjectures in positive characteristic

Damian Rössler|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 10

一句话总结

本文在正特征下建立了逻辑蕴含关系：若曼宁-蒙弗德猜想成立，则在有限域上曲线的函数域上，对于有限生成的阿贝尔簇，莫代尔-朗猜想也成立。通过使用弗罗贝尼乌斯与弗勒斯比克（Verschiebung）态射的代数几何技巧，证明了若一个子簇平移中扭点集不是齐次稠密，则其与有限生成子群的交集也不可能是齐次稠密——从而在该设定下，给出了一个无需模型论的莫代尔-朗猜想的证明。

ABSTRACT

We prove that in positive characteristic, the Manin-Mumford conjecture implies the Mordell-Lang conjecture, in the situation where the ambient variety is an abelian variety defined over the function field of a smooth curve over a finite field and the relevant group is a finitely generated group. In particular, in the setting of the last sentence, we provide a proof of the Mordell-Lang conjecture, which does not depend on tools coming from model theory.

研究动机与目标

• 在正特征下，建立曼宁-蒙弗德猜想蕴含莫代尔-朗猜想的逻辑关系。
• 在有限域上曲线的函数域上的阿贝尔簇设定下，提供莫代尔-朗猜想的代数几何证明。
• 避免依赖模型论工具，如赫鲁索夫斯基的佐里基几何，特别是在阿贝尔簇非普通的情形下。
• 使用伽罗瓦理论方程分析子簇中例外集的结构，与微分几何方法相区别。
• 证明在群为有限生成且簇由函数域上的基变换导出的假设下，莫代尔-朗猜想可由曼宁-蒙弗德猜想推出。

提出的方法

• 假设任意子簇平移中扭点集不是齐次稠密，若其与有限生成子群的交集是稠密，则导出矛盾。
• 在 $A(K)$ 上应用 $p$-进拓扑，构造 $A(K)$ 中收敛点列 $Q_i$，得到极限点 $Q$，使得对所有 $l$，$X+Q$ 与 $p^l \cdot A(K)$ 的交集是稠密的。
• 利用弗罗贝尼乌斯态射 $\mathrm{Frob}_{{\cal A}/S}$ 与弗勒斯比克态射 $\mathrm{Ver}$，通过弗罗贝尼乌斯基变换的交换图分析 $[p^l]^*$ 下子簇的拉回。
• 分析 $\mathrm{Ver}^{l,*}$ 下的约化拉回 $\mathcal{X}_1$，证明其在基概形 $S$ 上是整的、光滑的且平坦的。
• 利用 $\mathcal{X}_2 = (\mathrm{Frob}^{l,*}_{{\cal A}/S}(\mathcal{X}_1))_{\mathrm{red}}$ 是几何上约化的且平坦的性质，以及 $({\cal X}_2)^{(p^l)} \cong \mathcal{X}_1$ 的同构关系（通过弗罗贝尼乌斯基变换）。
• 应用沃洛奇引理，推得 $\mathcal{X}_2$ 在 $S$ 上光滑，并利用 $[p^l]$ 的有限性与平坦性，证明映射 $\mathcal{X}_2 \to \mathcal{X}^{+Q}$ 的满射性，从而与定理 4.1 矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，莫代尔-朗猜想能否在不使用模型论的前提下，由曼宁-蒙弗德猜想推出？
• RQ2 在正特征下证明莫代尔-朗猜想时，哪些代数几何工具可替代赫鲁索夫斯基-齐尔伯理论等模型论方法？
• RQ3 弗罗贝尼乌斯与弗勒斯比克态射如何帮助分析函数域上阿贝尔簇子簇中有理点的稠密性？
• RQ4 在 $A(K)$ 中 $p$-进拓扑与点列收敛性在构造稠密性假设的反例中起什么作用？
• RQ5 伽罗瓦理论方程能否用于分析子簇中例外集的结构，从而与微分几何方法区分开来？

主要发现

• 在有限域上曲线的函数域上，对于有限生成子群，曼宁-蒙弗德猜想蕴含莫代尔-朗猜想。
• 该证明避免使用赫鲁索夫斯基的佐里基几何等模型论工具，提供了纯粹的代数几何论证。
• 矛盾通过构造一个极限点 $Q$ 而产生，使得对所有 $l$，$X+Q$ 与 $p^l \cdot A(K)$ 的交集是稠密的，从而与扭点集非稠密的假设矛盾。
• 态射 $\mathrm{Ver}^{l,*}(\mathcal{X}^{+Q})$ 被证明是 $S$ 上若干整的、光滑的概形的不相交并，从中选取一个分量 $\mathcal{X}_1$，使得其弗罗贝尼乌斯拉回产生一个约化、平坦且光滑的概形 $\mathcal{X}_2$。
• 同构关系 $({\cal X}_2)^{(p^l)} \cong \mathcal{X}_1$ 与映射 $\mathcal{X}_2 \to \mathcal{X}^{+Q}$ 的满射性，意味着 $\mathcal{X}^{+Q}$ 的每个 $\bar{k}$-点都可提升至 $\mathcal{X}^{+Q}(S^{\rm sh}) \cap p^l \cdot \mathcal{A}(S^{\rm sh})$，从而与定理 4.1 矛盾。
• 该方法与布伊乌姆的微分几何方法以及赫鲁索夫斯基的模型论技术不同，通过伽罗瓦方程分析例外集 $\mathrm{Exc}$。