[论文解读] On the martingale probem associated to the 2D and 3D Stochastic Navier-Stokes equations

Giuseppe Da Prato, Arnaud Debussche|ArXiv.org|May 13, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文通过分析关联的柯尔莫哥洛夫算子及其无穷维希尔伯特空间中的无穷小生成元，研究了二维和三维随机纳维-斯托克斯方程的鞅问题。在二维情形下，该文确定了柯尔莫哥洛夫算子的显式核心，使得可通过经典论证证明唯一性；在三维情形下，引入一种修正的柯尔莫哥洛夫算子，结合修正半群与费曼-卡茨型估计，证明了解保持正则性之前的唯一性。

ABSTRACT

We consider the martingale problem associated to the Navier-Stokes in dimension 2 or 3. Existence is well known and it has been recently shown that markovian transition semi group associated to these equations can be constructed. We study the Kolmogorov operator associated to these equations. It can be defined formally as a differential operator on an infinite dimensional Hilbert space. It can be also defined in an abstract way as the infinitesimal generator of the transition semi group. We explicit cores for these abstract operators and identify them with the concrete differential operators on these cores. In dimension 2, the core is explicit and we can use a classical argument to prove uniqueness for the martingale problem. In dimension 3, we are only able to exhibit a core which is defined abstractly and does not allow to prove uniqueness for the martingale problem. Instead, we exhibit a core for a modified Kolmogorov operator which enables us to prove uniqueness for the martingale problem up to the time the solutions are regular.

研究动机与目标

• 阐明无限维希尔伯特空间中马尔可夫转移半群的抽象无穷小生成元与柯尔莫哥洛夫算子具体微分形式之间的联系。
• 在二维情形下，为柯尔莫哥洛夫算子建立显式核心，使经典唯一性论证适用于鞅问题。
• 通过引入修正的柯尔莫哥洛夫算子，克服三维情形下缺乏显式核心的困难，从而证明解在保持正则性的时间点前的唯一性。
• 利用通过费曼-卡茨型指数泛函定义的修正半群 $ S_t $，推导出平滑性与先验估计，这些估计对紧致性论证至关重要。
• 在噪声满足最小假设（迹类、非退化，且 $ \text{Tr}((-A)^{1+g}Q) < \infty $）下，将马尔可夫转移半群的构造推广至完整的三维情形。

提出的方法

• 将柯尔莫哥洛夫算子 $ L $ 定义为马尔可夫转移半群 $ P_t $ 的无穷小生成元，并将其与形式微分算子 $ L\varphi(x) = \frac{1}{2}\text{Tr}\{QD^2\varphi(x)\} + (Ax + b(x), D\varphi(x)) $ 在一个核心定义域上对应起来。
• 在伽辽金逼近上通过 $ S_t^m\varphi(x) = \mathbb{E}\left[ e^{-K\int_0^t |AX(s,x)|^2 ds} \varphi(X(t,x)) \right] $ 构造修正半群 $ S_t^m $，该构造引入阻尼因子以增强正则性。
• 利用恒等式 $ P_t^m\varphi = S_t^m\varphi + K\int_0^t S_{t-s}^m(|A\cdot|^2 P_s^m\varphi) ds $ 将估计从 $ S_t^m $ 传递至 $ P_t^m $，从而支持紧致性论证。
• 应用分解方法控制随机卷积 $ Z(t) = \int_0^t e^{(t-s)A}\sqrt{Q} dW(s) $，证明 $ \mathbb{E}[\sup_t |Z(t)|_{2+\epsilon}^h] \leq C $ 对 $ \epsilon < g $ 成立。
• 通过估计非线性项 $ b(Y+Z) $，利用加加尔多-利拉尔多不等式与索博列夫嵌入，推导出 $ |Y(t)|_{2}^2 $ 的先验估计，其中 $ Y = X - Z $。
• 通过涉及 $ \exp\left(-c\int_0^t |X(s,x)|^2 |X(s,x)|_1^2 ds\right) $ 的格朗沃尔型论证，建立指数矩界，从而控制 $ |X(t,x)|_1^k $ 的矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为与二维随机纳维-斯托克斯方程相关的柯尔莫哥洛夫算子识别出显式核心，从而支持经典唯一性论证？
• RQ2 在三维情形下，为何标准核心无法确保鞅问题的唯一性？能否通过引入修正算子克服此问题？
• RQ3 在三维情形下，如何利用包含阻尼因子 $ e^{-K\int |AX|^2 ds} $ 的修正半群 $ S_t $ 推导出一致估计并实现紧致性？
• RQ4 噪声结构（迹类、非退化）在保证马尔可夫过程存在性与费曼-卡茨表示有效性方面起到何种作用？
• RQ5 在使用指数加权与随机分析技术时，$ |X(t,x)|_1 $ 与 $ |AX(t,x)| $ 的矩估计在多大程度上可被控制？

主要发现

• 在二维情形下，识别出柯尔莫哥洛夫算子的显式核心，使得可应用经典论证证明鞅问题的路径唯一性。
• 在三维情形下，原始柯尔莫哥洛夫算子缺乏显式核心，但通过引入修正算子 $ N\varphi = L\varphi - K|Ax|^2\varphi $，可证明解在保持正则性时间点前的唯一性。
• 通过费曼-卡茨型指数泛函定义的修正半群 $ S_t $ 具有强平滑性，且可将伽辽金逼近的估计传递至完整系统。
• 对任意 $ k \in \mathbb{N} $，$ \epsilon > 0 $，及 $ T > 0 $，有估计 $ \mathbb{E}\left[ e^{-\epsilon\int_0^t |(-A)^{1/2}X_m(s,x)|^6 ds} |AX_m(t,x)|^k \right] \leq C(\epsilon,k,T,Q,A)(1 + |Ax|^k) $ 对所有 $ m $ 一致成立，从而保证紧致性。
• 通过在 $ e^{-c\int |X|^2 |X|_1^2 ds} |X|_1^2 $ 上应用伊tô公式推导出矩估计，其界通过加加尔多-利拉尔多不等式与庞加莱不等式控制。
• 证明依赖于函数 $ x \mapsto -\epsilon x^6 + c x^4 $ 的有界性，以及 $ \mathbb{E}[\sup_t |Z(t)|_{2+\epsilon}^h] $ 的可积性，后者由分解方法与迹类噪声假设推出。