[论文解读] On the Martingale Property of Certain Local Martingales: Criteria and Applications

Aleksandar Mijatović, Mikhail Urusov|arXiv (Cornell University)|May 22, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 1

一句话总结

本文在一维扩散模型中建立了连续局部鞅的随机指数为真正鞅或一致可积鞅的确定性必要与充分条件。通过分析基础过程的漂移与扩散系数以及函数 b，作者推导出判定该过程是否几乎必然严格为正或收敛于零的准则，从而实现对基于扩散的资产定价模型中金融泡沫的检测。

ABSTRACT

Abstract. The stochastic exponential Zt = exp{Mt − M0 − (1/2)〈M, M〉t} of a continuous local martingale M is itself a continuous local martingale. We give a necessary and sufficient condition for the process Z to be a true martingale in the case where Mt = R t b(Yu) dWu and 0 Y is a one-dimensional diffusion driven by a Brownian motion W. Furthermore, we provide a necessary and sufficient condition for Z to be a uniformly integrable martingale in the same setting. These conditions are deterministic and expressed only in terms of the function b and the drift and diffusion coefficients of Y. We also classify, via deterministic necessary and sufficient conditions, when the process Z is a.s. strictly positive, when its limit Z ∞ is a.s. strictly positive, and when Z∞ is a.s. zero. This allows us to obtain a deterministic necessary and sufficient condition in the one-dimensional setting for a discounted stock price to be a true martingale under the risk-neutral measure, and for it to be a uniformly integrable martingale. These results enable us to ascertain the existence of financial bubbles in diffusion-based models. Finally, we

研究动机与目标

• 确定在一维扩散设定下，连续局部鞅的随机指数为真正鞅的确定性可验证条件。
• 推导随机指数为一致可积鞅的必要与充分条件。
• 根据漂移、扩散系数及函数 b，对过程的几乎必然正性及其极限进行分类。
• 将这些结果应用于风险中性测度下，判断贴现股票价格是否为真正鞅。
• 为基于扩散的资产定价模型中金融泡沫的检测提供一个框架。

提出的方法

• 分析聚焦于形如 Mt = ∫₀ᵗ b(Yᵤ) dWᵤ 的连续局部鞅，其中 Y 是由布朗运动 W 驱动的一维扩散过程。
• 研究随机指数 Zₜ = exp{Mt − M₀ − ½⟨M, M⟩ₜ}，以确定其何时成为真正鞅。
• 通过基础扩散 Y 的路径行为及函数 b，推导出必要与充分条件。
• 条件仅以 Y 的漂移与扩散系数及函数 b 表示，无需对路径施加概率假设。
• 该方法利用一维扩散的结构，并通过爆炸与常返性的分析，隐含地运用 Feller 本地时或尺度函数技术。
• 将结果应用于风险中性定价测度，以评估贴现股票价格的鞅性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种确定性条件下，一维扩散设定下一连续局部鞅的随机指数为真正鞅？
• RQ2 在何种条件下，随机指数为一致可积鞅，且何种条件可确保该性质？
• RQ3 在所有有限时间及极限下，随机指数何时几乎必然严格为正？
• RQ4 随机指数的极限何时几乎必然为零？
• RQ5 这些条件如何用于检测基于扩散的资产价格模型中的金融泡沫？

主要发现

• 随机指数 Zₜ 为真正鞅的必要与充分条件仅以函数 b 及基础扩散 Y 的漂移与扩散系数表示。
• 为 Zₜ 成为一致可积鞅提供了确定性的必要与充分条件，同样仅依赖于 b 及 Y 的系数。
• 当且仅当 b 与 Y 的尺度函数满足某一特定积分条件时，过程 Zₜ 几乎必然在所有 t ≥ 0 时严格为正。
• 当且仅当过程 Y 不发生爆炸且 b 满足与尺度函数相关的特定可积性条件时，极限 Z∞ 几乎必然严格为正。
• 当且仅当过程 Y 到达尺度函数发散的边界且 b 增长足够快时，Z∞ 几乎必然为零。
• 这些结果为在风险中性测度下贴现股票价格是否为真正鞅提供了确定性判据，从而实现了对一维扩散模型中资产价格泡沫的检测。