[论文解读] On the Maslov index of symplectic paths that are not transversal to the Maslov cycle. Semi-Riemannian index theorems in the degenerate case

Roberto Giambò, Paolo Piccione+1 more|ArXiv.org|Jun 11, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用 8

一句话总结

本论文提出了一种非微扰理论，用于计算不与Maslov环相横截的Lagrangian路径的Maslov指标，方法是利用对称双线性型孤立奇点的广义符号。该理论将Maslov指标扩展至有限与无限维Lagrangian Grassmannian中的连续曲线，建立了半黎曼测地线在共轭端点情况下的广义Morse指标定理，并证明了实解析路径的自伴Fredholm算子的谱流等于在退化时刻的奇数部分符号之和。

ABSTRACT

We use the notion of generalized signatures at a singularity of a smooth curve of symmetric bilinear forms to determine a formula for the computation of the Maslov index in the case of a real-analytic path having possibly non transversal intersections. We discuss some applications of the theory, with special emphasis on the study of the Jacobi equation along a semi-Riemannian geodesic. The research work exposed in this paper originated from a suggestion given by the third author relating the spectral flow with the partial signatures. He pointed out several references and formulated the statement that in the invertible endpoints case, the spectral flow of a real analytic path of self-adjoint Fredholm operators is given by the sum of the odd partial signatures at each degeneracy instant. In the present version of the article, this statement is part of Proposition 2.9; totally, the contribution of the third author to the theory consists in Definition 2.3, formulas (2.1) and (2.2), the first statement of Proposition 2.4, parts of Remark 2.5, Definition 2.6, and parts of the statement and parts of the proof of Proposition 2.9. Apart from this original contribution, the material contained in this paper was entirely developed and written by the first two authors at the Universita' di Camerino (Italy), Universidade de Sao Paulo (Brazil).

研究动机与目标

• 为有限与无限维辛空间中的连续Lagrangian路径定义Maslov指标，即使其与Maslov环的交点非横截。
• 将经典Morse指标定理推广至端点为共轭点的半黎曼测地线情形，从而容许二阶变分退化。
• 通过在对称双线性型退化点处的广义符号，建立Maslov指标的非微扰公式。
• 阐明实解析路径的自伴Fredholm算子的谱流与退化时刻的广义符号之间的关系。
• 在辛几何与半黎曼几何的统一框架下，整合配对Maslov指标、三重与四重指标等各类指标概念。

提出的方法

• 引入光滑对称双线性型曲线在孤立奇点处的广义符号，通过根函数与谱投影定义。
• 利用部分符号的概念计算非横截情形下的Maslov指标，以分析控制退化点处的解析性替代横截性假设。
• 通过Lagrangian Grassmannian将理论应用于辛路径，将Maslov指标定义为使用广义符号对与Maslov环交点的带符号计数。
• 建立实解析自伴Fredholm算子路径的谱流公式，证明其等于在每个退化时刻的奇数部分符号之和。
• 通过将Jacobi方程的Maslov指标与测地线上共轭点结构关联，将该框架应用于半黎曼几何。
• 利用李群理论与极分解分析不定正交群O(n,k)的连通分支，证明其在负定子空间Grassmannian上的作用是传递的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为与Maslov环非横截的Lagrangian路径定义并计算Maslov指标，特别是在端点处？
• RQ2 实解析自伴Fredholm算子路径的谱流与退化时刻的广义符号之间的确切关系是什么？
• RQ3 经典Morse指标定理能否推广至具有共轭端点的半黎曼测地线，此时二阶变分退化？
• RQ4 在非横截情形下，退化时刻的广义符号如何与Maslov指标的局部贡献相关联？
• RQ5 Kashiwara三重指标与Hörmander四重指标在退化辛路径背景下的几何与分析意义是什么？

主要发现

• 即使与Maslov环的交点非横截，有限或无限维辛空间中连续Lagrangian路径的Maslov指标仍可通过在孤立奇点处的广义符号良好定义。
• 实解析自伴Fredholm算子路径的谱流等于在每个退化时刻的奇数部分符号之和，如命题2.9所述。
• 即使端点为共轭点，半黎曼测地线的广义Morse指标定理依然成立，此时Maslov指标等于通过广义符号计算的共轭点数量（含重数）。
• O(n,k)中单位连通分支在g-负定k维子空间的Grassmannian上作用传递，意味着该空间是道路连通的。
• 该理论通过证明各类指标（配对、三重、四重）可一致地通过广义符号框架定义，从而统一了多种指标概念。
• 构造了一个反例，表明在退化情形下共轭指标与Maslov指标并不总是一致，挑战了经典结果的直观推广。