[论文解读] On the $\mathcal L$-invariant of the adjoint of a weight one modular form

Martí Roset, Víctor Rotger+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文证明了与权一模形式的伴随表示相关的两个L-不变量的相等性：一个通过p-进L-函数的导数从分析角度定义，另一个通过格林堡的通用范数构造从代数角度定义。利用类域论和全局单位元与p-单位的p-进对数，作者证明这两个不变量在系数域的乘法群模下同余，从而在广泛情形下（包括在弱条件下下的奇异形式）证实了格林堡的猜想。

ABSTRACT

The purpose of this article is proving the equality of two natural $\mathcal L$-invariants attached to the adjoint representation of a weigth one cusp form, each defined by purely analytic, respectively algebraic means. The proof departs from Greenberg's definition of the algebraic $\mathcal L$-invariant as a universal norm of a canonical $\mathbb{Z}_p$-extension of $\mathbb{Q}_p$ associated to the representation. We relate it to a certain $2 imes 2$ regulator of $p$-adic logarithms of global units by means of class field theory, which we then show to be equal to the analytic $\mathcal L$-invariant computed by Rivero and the second author.

研究动机与目标

• 证明与权一模形式的伴随表示相关的两个不同L-不变量的相等性：一个为分析型（由p-进L-函数的导数导出），另一个为代数型（通过格林堡的通用范数构造定义）。
• 将格林堡在特殊情形（g ∈ S₁(23,η) 且 p=23）的早期计算推广至一般框架，将其临时计算置于更概念化和更广泛的背景中。
• 证明在权一模形式且具有p-分明、非诱导、模p伽罗瓦表示不可约的情形下，通过伽罗瓦上同调和Qp的Zp-扩张定义的代数L-不变量等于分析L-不变量。
• 给出代数L-不变量的统一公式，以全局单位元和p-单位的p-进对数表示，与先前工作的分析公式一致。
• 在附加弱条件（特别是对奇异形式有 α ≠ −β）下，验证格林堡的猜想，即两个L-不变量应相等。

提出的方法

• 将分析L-不变量定义为p-进L-函数 Lp(ad₀(gα), s) 在 s=1 处的首阶导数，由于p-进zeta函数因子存在极点，该值为零。
• 利用分解式 Lp(g, g*, s) = ζp(s)Lp(ad₀(gα), s) 将伴随表示的p-进L-函数与全自同态空间的p-进L-函数联系起来。
• 通过格林堡构造表达代数L-不变量 LGr(ad₀(gα))：即来自Q上H¹(Q, ad₀(g)⊗Qp)中的全局上同调类的通用范数，该类源于Qp的Zp-扩张。
• 应用类域论，将通用范数与二次域的希尔伯特类域H中全局单位元和p-单位的p-进对数联系起来，特别关注在p处的分解域H₁。
• 使用群环L[∆]中的∆-等变同态和投影算子，分解上同调类，并提取对应于p处弗罗贝尼乌斯作用的分量。
• 通过将关键系数b与uβ/α和vβ/α的p-进对数之比关联，计算上同调类分解式 θχ(w) = b(θχ(ε₁),...,θχ(ε₁)) + cz₁中的系数b，最终将其与分析公式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 权一模形式的伴随表示的分析L-不变量与代数L-不变量是否相等，如格林堡所猜想？
• RQ2 格林堡对S₁(23,η)中形式在p=23时的特例计算，能否推广至其他权一模形式？
• RQ3 通过Zp-扩张中的通用范数定义的代数L-不变量，能否用全局单位元和p-单位的p-进对数表示？
• RQ4 代数L-不变量的上同调构造与p-进L-函数导数之间的确切关系为何？
• RQ5 两个L-不变量的相等性是否对奇异形式成立？需要何种条件以确保此结论？

主要发现

• 在假设(A1–A3)下，代数L-不变量LGr(ad₀(gα))与分析L-不变量Lan(ad₀(gα))模L×同余，对奇异形式还需额外条件α ≠ −β。
• 代数L-不变量显式计算为 LGr(ad₀(gα)) ≡ logₚ(v₁) − logₚ(vβ/α) / logₚ(uβ/α) logₚ(u₁) (mod Q×)，其中u和v为GQ-等变同态至单位群。
• 在上同调类分解中，系数b被证明等于 −logₚ(vβ/α)/logₚ(uβ/α)，从而建立了代数与分析表达式之间的联系。
• 证明表明，通用范数x的p-进对数由包含b和logₚ(θχε₁)的公式决定，该公式与[RR, 定理A’]中的分析公式一致。
• 结果在广泛情形下证实了格林堡的猜想，包括此前神秘的Γ₀(23)上权一形式在p=23的情形。
• 关键技术桥梁在于将H¹(Q, V)中的上同调类识别为单位元和p-单位的p-进对数的组合，利用∆-等变性与群环中的投影算子。