[论文解读] On the $\mathrm{L}^p$-theory for second-order elliptic operators in divergence form with complex coefficients

Tom Ter Elst, Robert Haller‐Dintelmann+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2019

Advanced Harmonic Analysis Research被引用 5

一句话总结

本文通过引入 $p$-椭圆性条件，建立了具有复系数的二阶椭圆微分型算子在 $Ω$ 上的 $ω^p$-理论，该条件刻画了算子在 $ω^p(\Omega)$ 上生成有界解析半群的 $p$ 的范围。关键结果是在混合狄利克雷-诺伊曼边界条件下，解析半群生成的精确范围为 $p \in \left(\frac{p_0(\mu)d}{d(p_0(\mu)-1)+2}, \frac{p_0(\mu)d}{d-2}\right)$，并将最大正则性与 $ω^\infty$-演算推广至 $ω^p$ 及其对偶空间。

ABSTRACT

Given a complex, elliptic coefficient function we investigate for which values of $p$ the corresponding second-order divergence form operator, complemented with Dirichlet, Neumann or mixed boundary conditions, generates a strongly continuous semigroup on $\mathrm{L}^p(Ω)$. Additional properties like analyticity of the semigroup, $\mathrm{H}^\infty$-calculus and maximal regularity are also discussed. Finally we prove a perturbation result for real coefficients that gives the whole range of $p$'s for small imaginary parts of the coefficients. Our results are based on the recent notion of $p$-ellipticity, reverse Hölder inequalities and Gaussian estimates for the real coefficients.

研究动机与目标

• 确定 $p \in (1,\infty)$ 的范围，使得具有复系数的二阶椭圆微分型算子在 $\u03c9^p(\Omega)$ 上生成强连续半群。
• 刻画此类算子具备解析性、$ω^\infty$-演算及 $ω^p$ 中最大抛物正则性等附加性质的条件。
• 通过引入并利用 $p$-椭圆性条件作为 $ω^p$-设定下实椭圆性的替代，将理论从实系数推广至复系数。
• 证明实系数在小虚部扰动下的扰动结果，表明在小复扰动下 $p$-值的完整范围仍保持有效。

提出的方法

• 作者引入了 $p$-椭圆性的概念，即对系数矩阵 $\mu$ 的一种条件，确保算子在 $\u03c9^p$ 中为正实部且属于扇形算子。
• 他们使用实系数下的反向霍尔德不等式与高斯估计作为基础工具，将结果推广至复系数情形。
• 主要技术工具是构造一个从 $\u03c9^{-1,q}_D(\Omega)$ 到 $\u03c9^q(\Omega)$ 的拓扑同构 $E_q^\mu$，从而将半群与函数演算从 $\u03c9^q$ 传递到对偶空间。
• 在 $\u03c9^{-1,q}_D(\Omega)$ 上定义生成元 $B_q^\mu$ 为形式算子 $\mathcal{A}$ 的部分，以确保与 $\u03c9^p$-理论的兼容性。
• 通过同构 $E_q^\mu$，将有界解析函数演算与最大正则性从 $\u03c9^q(\Omega)$ 传递到 $\u03c9^{-1,q}_D(\Omega)$。
• 该理论应用于满足几何条件（如 $d$-集与 $(d-1)$-集边界）的区域上的混合边界条件，确保迹与延拓性质成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $p$ 值，具有复系数的微分型算子 $-A = -\nabla \cdot \mu \nabla$ 在 $\u03c9^p(\Omega)$ 上生成强连续半群？
• RQ2 在何种条件下，由 $-A$ 生成的半群为解析半群，且解析性的精确 $p$ 范围为何？
• RQ3 $ω^\infty$-演算与最大抛物正则性能否从 $\u03c9^2$ 推广至复系数下的 $\u03c9^p$？
• RQ4 $p$-椭圆性条件与算子为扇形算子并生成有界解析半群的 $p$ 范围之间有何关系？
• RQ5 小虚部扰动对实系数算子的 $ω^p$-理论有何影响？

主要发现

• 算子 $-A$ 在所有 $p \in \left(\frac{p_0(\mu)d}{d(p_0(\mu)-1)+2}, \frac{p_0(\mu)d}{d-2}\right)$ 范围内于 $\u03c9^p(\Omega)$ 上生成有界解析半群，其中 $p_0(\mu)$ 为 $p$-椭圆性所对应的临界指数。
• $\u03c9^\infty$-演算在 $\u03c9^q(\Omega)$ 上有界，$q \in \left[2, \frac{p_0(\mu)d}{d-2}\right)$，其扇形角与 $\u03c9^2$-算子相同。
• $\u03c9^{-1,q}_D(\Omega)$ 上的生成元 $B_q^\mu$ 具有最大抛物正则性，该性质通过同构 $E_q^\mu$ 从 $\u03c9^q$-理论继承而来。
• $A_{p}^{(\mu^*)}+1$ 的平方根的伴随算子是从 $\u03c9^{-1,q}_D(\Omega)$ 到 $\u03c9^q(\Omega)$ 的拓扑同构，与 $\u03c9^2$-情形一致。
• 对于实系数且虚部较小的扰动，$\u03c9^p$-理论成立的 $p$-值完整范围在小复扰动下保持不变。
• 在 $\Omega$ 为 $d$-集且 $D \subset \partial\Omega$ 为 $(d-1)$-集的条件下，结果可推广至非光滑区域与混合边界条件。