[论文解读] On the Max-Cut Over Sparse Random Graph

David Gamarnik, Quan Li|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 26被引用 4

一句话总结

该论文通过在大偏差分析中引入一种新颖的局部最优性约束，改进了稀疏 Erdős–Rényi 随机图中最大割的已知界限。它建立了更紧致的渐近界限：以高概率，归一化的最大割大小位于 [c/2 + 0.47523√c, c/2 + 0.55909√c] 区间内，该结果对反铁磁伊辛模型具有启示意义，并改进了立方图的界限。

ABSTRACT

We consider the problem of estimating the size of a maximum cut in a random \ER graph on $n$ nodes and $\lfloor cn floor$ edges. It is known~\cite{Coppersmith2004} that the size of the maximum cut in this graph normalized by the number of nodes belongs to the asymptotic region $[c/2+0.37613\sqrt{c},c/2+0.58870\sqrt{c}]$ with high probability (w.h.p.) as $n$ increases, for all sufficiently large $c$. In this paper we improve both upper and lower bounds by introducing a novel bounding technique. Specifically, we establish that the size of the maximum cut normalized by the number of nodes belongs to the interval $[c/2+0.47523\sqrt{c},c/2+0.55909\sqrt{c}]$ w.h.p. as $n$ increases, for all sufficiently large $c$. Instead of considering the expected number of cuts achieving a particular value as is done in the first moment method, we observe that every maximum size cut satisfies a certain local optimality property, and we compute the expected number of cuts with a given value satisfying this local optimality property. Estimating this expectation amounts to solving a rather involved two dimensional large deviations problem. We solve this underlying large deviation problem asymptotically as $c$ increases and use it to obtain an improved upper bound on the Max-Cut value. The lower bound is obtained by the second moment method, coupled with the same local optimality constraint, and is shown to work up to the stated lower bound. Our results have immediate implications to a very related model -- anti-ferromagnetic Ising model. As a corollary we obtain that the ground state energy normalized by $2\sqrt{c}n$ for this model on the same random graph belongs to $[-0.55909,-0.47523]$ for all sufficiently large $c$ w.h.p. Finally, we also obtain an improved lower bound $1.36000n$ of Max-Cut for random cubic graph or cubic graph with a large girth, improving the previous best bound $1.33774n$.

研究动机与目标

• 改进稀疏 Erdős–Rényi 随机图中最大割大小的已知渐近界限。
• 开发一种新边界技术，结合最大割的局部最优性特征。
• 利用大偏差分析，改进归一化最大割值的上下界。
• 将结果扩展至同一随机图集合上的反铁磁伊辛模型。
• 为随机立方图或具有大围长的图推导改进的最大小割下界。

提出的方法

• 引入最大割必须满足的局部最优性条件，取代基于期望计数的标准一阶矩方法。
• 计算满足该局部最优性条件的给定大小割的期望数量，而非所有割。
• 渐近地求解一个二维大偏差问题，随着 c 增大。
• 利用该解，通过引入新约束的一阶矩方法，推导出最大割值的更紧致上界。
• 使用相同的局部最优性约束，应用二阶矩方法，建立更强的下界。
• 利用结果推导出同一图集合上反铁磁伊辛模型基态能量的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 n → ∞ 且 c 较大时，稀疏 Erdős–Rényi 随机图中归一化最大割大小的改进渐近界限是什么？
• RQ2 如何利用最大割的局部最优性特征，以改进随机图设定下的大偏差分析？
• RQ3 这些更紧致的最大割界限对同一图集合上反铁磁伊辛模型的基态能量有何启示？
• RQ4 该新方法能否为正则图或大围长图（如立方图）中的最大割提供改进的下界？
• RQ5 在该语境下，新边界技术相较于经典的一阶与二阶矩方法，性能提升程度如何？

主要发现

• 在具有 c n 条边的 Erdős–Rényi 随机图中，当 n 增大且所有足够大的 c 时，归一化最大割大小以高概率落在区间 [c/2 + 0.47523√c, c/2 + 0.55909√c] 内。
• 改进的上界 c/2 + 0.55909√c 是通过在局部最优性约束下求解二维大偏差问题得出的。
• 改进的下界 c/2 + 0.47523√c 是通过使用相同局部最优性条件的二阶矩方法建立的。
• 对于同一图集合上的反铁磁伊辛模型，基态能量按 2√c n 归一化后，以高概率属于 [-0.55909, -0.47523] 区间，当 c 较大时。
• 为随机立方图或具有大围长的立方图，得到了改进的下界 1.36000n，超过先前的 1.33774n。
• 所提出的方法显著收紧了已知界限，相较于先前工作（包括 Coppersmith 等，2004 年）通过利用割空间中的结构约束，实现了显著改进。