[论文解读] On the maximal number of elements pairwise generating the symmetric group of even degree

Francesco Fumagalli, Martino Garonzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2020

Finite Group Theory Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文证明，对于偶数次对称群 $S_n$，最大两两生成集的大小 $ olimits(S_n)$ 与最小正规子群覆盖数 $ olimits(S_n)$ 的渐近行为均等价于 $ olimits rac{1}{2}inom{n}{n/2}$，当 $n \to \infty$ 时。作者使用 Lov\'asz 局部引理构造此类集合，并证明 $ olimits(S_n)/ olimits(S_n) \to 1$，从而解决了关于偶数 $n$ 时 $S_n$ 群生成理论中长期存在的渐近等价性问题。该结果通过组合群论与概率方法推导得出，且基于 Eberhard 和 Virchow 的工作，给出了无需分类定理的 $ olimits(S_n) \geq (1 - o(1))n$ 的分类无关下界。

ABSTRACT

Let $G$ be the symmetric group of degree $n$. Let $\\omega(G)$ be the maximal size of a subset $S$ of $G$ such that $\\langle x,y \ angle = G$ whenever $x,y \\in S$ and $x \ eq y$ and let $\\sigma(G)$ be the minimal size of a family of proper subgroups of $G$ whose union is $G$. We prove that both functions $\\sigma(G)$ and $\\omega(G)$ are asymptotically equal to $\\frac{1}{2} \\binom{n}{n/2}$ when $n$ is even. This, together with a result of S. Blackburn, implies that $\\sigma(G)/\\omega(G)$ tends to $1$ as $n \ o \\infty$. Moreover, we give a lower bound of $(1-o(1))n$ on $\\omega(G)$ which is independent of the classification of finite simple groups. We also calculate, for large enough $n$, the clique number of the graph defined as follows: the vertices are the elements of $G$ and two vertices $x,y$ are connected by an edge if $\\langle x,y \ angle \\geq A_n$.

研究动机与目标

• 确定对偶数 $n$，对称群 $S_n$ 中最大两两生成集大小 $ olimits(S_n)$ 的渐近行为。
• 建立 $ olimits(S_n)$（最小覆盖数）与 $ olimits(S_n)$ 的渐近等价性，证明当 $n \to \infty$ 时 $ olimits(S_n)/ olimits(S_n) \to 1$。
• 在不依赖有限单群分类定理的前提下，为 $ olimits(S_n)$ 提供一个分类无关的下界。
• 计算以 $S_n$ 元素为顶点、边定义为生成至少 $A_n$ 的图的团数，将结果推广至 $ olimits(x,y) \geq A_n$ 的情形。

提出的方法

• 通过 Lov\'asz 局部引理的概率构造方法，在具有两个块的非本原极大子群中构造 $n$-循环族。
• 在 $S_n$ 上定义两个图 $Q^{(1)}$ 与 $Q^{(2)}$，其边分别对应生成 $S_n$ 与生成 $\geq A_n$ 的元素对，并界定其团数。
• 利用 Lov\'asz 局部引理证明：从每个极大子群中随机选取 $n$-循环，以正概率生成两两生成集。
• 通过共轭类计数与子群交集界，界定两个随机选取元素落入构造族外同一极大子群中的概率。
• 应用 Eberhard 与 Virchow 的分类无关结果，关于随机生成概率，推导出 $ olimits(S_n)$ 与 $ olimits(A_n)$ 的下界。
• 利用对 $S_n$ 的极大子群的研究成果，包括 Praeger-Saxl 界与循环型约束，控制局部引理应用中的误差概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于偶数 $n$，$\nolimits(S_n)$ 的渐近增长行为如何？即 $S_n$ 中最大两两生成集的大小？
• RQ2 对于偶数 $n$，$\nolimits(S_n)$ 与 $\nolimits(S_n)$ 的渐近关系如何？是否满足 $\nolimits(S_n)/\nolimits(S_n) \to 1$？
• RQ3 能否在不依赖有限单群分类定理的前提下，为 $\nolimits(S_n)$ 建立下界？
• RQ4 对于足够大的偶数 $n$，在 $S_n$ 上定义的图（边连接生成 $\geq A_n$ 的元素对）的团数是多少？
• RQ5 极大子群的结构——特别是非本原与非传递子群——如何影响大两两生成集的构造？

主要发现

• 对于偶数 $n$，$\nolimits(S_n)$ 与 $\nolimits(S_n)$ 均渐近等价于 $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2}$，且当 $n \to \infty$ 时，其比值 $\nolimits(S_n)/\nolimits(S_n) \to 1$。
• 对于所有足够大的偶数 $n$，满足对所有不同 $x,y \in X$ 有 $\nolimits(x,y) \geq A_n$ 的子集 $X \subseteq S_n$ 的最大大小为：当 $n/2$ 为偶数时为 $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2} + 2^{n-2}$，当 $n/2$ 为奇数时为 $2^{n-2}$。
• 通过 Eberhard 与 Virchow 关于随机生成概率的结果，独立于有限单群分类定理，建立了 $\nolimits(S_n) \geq (1 - o(1))n$ 的下界。
• 成功应用 Lov\'asz 局部引理，构造出大小约为 $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2}$ 的两两生成集，误差概率通过子群共轭类与交集界得到控制。
• 证明依赖于将 $S_n$ 的极大子群划分为类型（非本原、非传递、本原），并界定两个随机生成元落入同一类子群中的概率。
• 对于足够大的偶数 $n$，在 $S_n$ 上定义的图（边表示 $\nolimits(x,y) \geq A_n$）的团数被证明恰好为：当 $n/2$ 为偶数时为 $\frac{1}{2}\binom{n}{n/2} + 2^{n-2}$，当 $n/2$ 为奇数时为 $2^{n-2}$。