[论文解读] On the maximal perimeter of isotropic log-concave probability measures

Silouanos Brazitikos, Apostolos Giannopoulos+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

Point processes and geometric inequalities被引用 0

一句话总结

论文证明了各向同性对数凹测度在 R^n 中最大周长常数的改进上界，表明 Gamma_n ≤ C n^{3/2}，并在额外结构假设下给出若干严格或接近严格的线性界限。

ABSTRACT

We study the maximal perimeter constant of isotropic log-concave probability measures on $\mathbb{R}^n$. For a measure $μ$, this quantity, denoted by $Γ(μ)$, is defined as the supremum of the $μ$-perimeter over all convex bodies and measures the largest possible boundary contribution of convex sets with respect to $μ$. Let $$Γ_n := \sup\{Γ(μ) : μ ext{ is an isotropic log-concave probability measure on } \mathbb{R}^n\}.$$ We prove that $Γ_n \leqslant Cn^{3/2}$, where $C>0$ is an absolute constant. This result improves the previously known $O(n^2)$ upper bound. Under additional structural assumptions, we obtain sharp linear bounds of order $O(n)$.

研究动机与目标

• 推动并量化高维各向同性对数凹测度的极值周长性质。
• 定义并研究 R^n 中各向同性对数凹测度的最大周长常数 Gamma(mu)。
• 改进 Gamma_n 的一般上界，并在额外结构假设下探索严格或线性界限。
• 将周长界与等高线几何以及各向同性设定下的内半径/最小宽度概念联系起来。

提出的方法

• 通过 mu^+(∂A) 将 mu-周长定义为在欧几里得扩张下的第一阶边界变化。
• 将 R_t(mu) 定义为密度的超水平集并分析其凸性和内半径性质。
• 利用半径和最大密度值（引理 4.3）推导出基于膨胀的周长界。
• 利用 Steinhagen 不等式将最小宽度与内半径联系起来，在对称情形给出线性界，在一般情形得到改进界。
• 根据密度水平将边界分解并通过水平集分析界定高密度区域与尾部的贡献（定理 4.9）。
• 利用 Livshyts 的凸水平集测度框架对水平 t 进行优化，得到全局 n^{3/2} 界（定理 4.9）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 R^n 中对 Convex 体的 mu-周长的最大值是多少？
• RQ2 是否可以改进先前已知的 O(n^2) 上界来界定各向同性对数凹测度的 Gamma_n？
• RQ3 在何种结构假设下可以得到Gamma(mu) 的线性界限（O(n)）？
• RQ4 对称性（或1-对称性）限制如何影响最大周长常数？
• RQ5 水平集几何与内半径/最小宽度在控制 mu-周长中的作用是什么？

主要发现

• 对于各向同性对数凹测度在 R^n 中，Gamma_n ≤ C n^{3/2}，改进了之前的 O(n^2) 界限。
• 对称最大周长常数的 Gamma_n^{(s)} ≤ 4 n。
• 对于各向同性凸体 K 的一致测度 mu_K，Gamma(mu_K) = L_K S(K)，且 Gamma(mu_K) ≤ sqrt(n/(n+2)) n（关于线性增长）。
• 若 mu 是 1-无条件且各向同性，则 Gamma(mu) ≤ sqrt(2) n。
• 在一维中，Gamma(mu) ≤ 2，并且存在单边指数分布的尖锐性结果。
• 对于分解测度 mu = ⊗_{k=1}^n mu_k，且密度有界，Gamma(mu) ≤ 2 ∑_k ||g_k||_∞，在各向同性的一维情形下这一结果给出 Gamma(mu) ≤ 2n。