[论文解读] On the maximum number of integer colourings with forbidden monochromatic sums

Hong Liu, Maryam Sharifzadeh+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文研究了 {1, ..., n} 的子集的 r-色染色中，使得任一颜色类均不包含 Schur 三元组（即 x + y = z 的解）时的最大染色数。对于 r = 2，证明了 f(n,2) = 2^{⌈n/2⌉}，极值集合为奇数集或大小为 ⌈n/2⌉ 的区间。对于 r ≤ 5，通过线性规划渐近确定了 log f(n,r)，表明极值集合接近奇数集或区间的并集。

ABSTRACT

Let $f(n,r)$ denote the maximum number of colourings of $A \subseteq \lbrace 1,\ldots,n brace$ with $r$ colours such that each colour class is sum-free. Here, a sum is a subset $\lbrace x,y,z brace$ such that $x+y=z$. We show that $f(n,2) = 2^{\lceil n/2 ceil}$, and describe the extremal subsets. Further, using linear optimisation, we asymptotically determine the logarithm of $f(n,r)$ for $r \leq 5$. Similar results were obtained by Hàn and Jiménez in the setting of finite abelian groups.

研究动机与目标

• 确定 f(n,r)，即 {1,…,n} 的子集 A 的 r-色染色的最大数量，使得每个颜色类均为和自由集（不包含 Schur 三元组）。
• 将 Erdős-Rothschild 问题从图论推广到和自由设定，将团替换为 Schur 三元组。
• 刻画实现 f(n,r) 的极值集合并理解其在小 r 值下的结构。
• 通过线性优化技术渐近确定 r ≤ 5 时的 log f(n,r)。
• 探讨极值集合的稳定性，并对 r = 4,5 提出结构近似猜想。

提出的方法

• 将 f(n,r) 定义为任意子集 A ⊆ {1,…,n} 的 r-色染色中，每个颜色类均为和自由集时的最大染色数。
• 使用极值组合与稳定性方法分析实现最大染色数的集合结构。
• 对于 r = 2，证明极值集合为奇数集或大小为 ⌈n/2⌉ 的区间，从而得到 f(n,2) = 2^{⌈n/2⌉}。
• 对于 r ≤ 5，应用线性规划建模密度与和自由性质的约束，推导 log f(n,r) 的渐近界。
• 采用受 Pikhurko 等人启发的分层方法，将问题简化为对和自由配置的有限优化。
• 通过证明极值集合在对称差意义下必须接近奇数集或区间的并集，建立稳定性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 {1,…,n} 的子集，最多可进行多少种 2-色染色，使得任一颜色类均不包含 Schur 三元组？
• RQ2 对于 r ∈ {3,4,5}，log f(n,r) 的渐近增长如何？极值集合具有何种结构特征？
• RQ3 f(n,r) 的极值集合是否可被刻画为接近奇数集或区间的并集？
• RQ4 对于 r ≤ 5，和自由集带来的平凡下界是否紧致？还是极值集合中包含大量 Schur 三元组？
• RQ5 线性规划技术能否用于推导更大 r 值（如 r = 6）的精确或渐近结果？

主要发现

• 对于 r = 2，f(n,2) = 2^{⌈n/2⌉}，极值集合为奇数集或任意大小为 ⌈n/2⌉ 的区间。
• 实现 f(n,2) 的极值集合恰好是最大大小的和自由集，即奇数集或大小为 ⌈n/2⌉ 的区间。
• 对于 r ≤ 5，通过线性规划渐近确定了 f(n,r) 的对数，表明 log f(n,r) = h(r) · n + o(n)，其中 h(r) 为某函数。
• 对于 r = 4 和 r = 5，极值集合在结构上接近奇数集或奇数集与特定区间的并集。
• 稳定性结果表明，任何 r = 4 的极值集合在对称差意义下必须在 o(n) 范围内接近奇数集、I₂ 或其并集。
• 对于 r ≥ 6，由于需考虑多种类型的和自由配置，该方法变得显著复杂，问题仍处于开放状态。