[论文解读] On the maximum orders of elements of finite almost simple groups and primitive permutation groups

Simon D. Guest, Joy Morris+2 more|ePrints Soton (University of Southampton)|Jan 22, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文建立了有限几乎单群和本原置换群中最大元素阶（meo）的精确上界，表明对于非交错群，meo(G) ≤ m(T) 除有限多个例外；且 meo(G) ≤ m(T)/4 除12个例外的单群外均成立。此外，本文分类了所有次数为 n 且包含阶至少为 n/4 的元素的本生置换群，确定了其根基结构，并通过群论分析元素阶与置换表示，提供了显式上界。

ABSTRACT

We determine upper bounds for the maximum order of an element of a finite almost simple group with socle T in terms of the minimum index m(T) of a maximal subgroup of T: for T not an alternating group we prove that, with finitely many exceptions, the maximum element order is at most m(T). Moreover, apart from an explicit list of groups, the bound can be reduced to m(T)/4. These results are applied to determine all primitive permutation groups on a set of size n that contain permutations of order greater than or equal to n/4.

研究动机与目标

• 确定有限几乎单群中最大元素阶 meo(G) 的上界，以单群 T 的忠实置换表示的最小次数 m(T) 表示。
• 研究 meo(G) 何时被 m(T) 的常数倍数（特别是 m(T)/4）有界，并识别例外情况。
• 分类所有次数为 n 且包含阶至少为 n/4 的元素的本生置换群，确定其根基结构与置换作用。
• 将对对称群与交错群的结果推广至其他有限单群及其自同构群，特别是经典群。
• 以 m(T) 表示 meo(Aut(T)) 的显式上界与例外情况，特别关注 PSL_d(q) 与 PSU_4(q) 群族。

提出的方法

• 作者利用已知的有限单群 T 的 meo(Aut(T)) 上界，特别是经典群，这些上界基于循环结构与域大小推导。
• 通过渐近估计与显式计算，比较 meo(Aut(T)) 与 m(T)，即 T 的忠实置换表示的最小次数。
• 对于 PSU_d(q) 群，推导出渐近不等式，表明当 q 足够大时，meo(Aut(T)) < m(T)^{3/4}，仅对有限多个情况例外。
• 应用群论技术分析乘积作用类型的本生置换群结构，特别是对称群的直积与根基作用。
• 通过计算验证与情形分析，确定满足 meo(G) ≥ n/4 的最大 ℓ_T，其中 G 为根基为 T^ℓ 的 PA 型群。
• 分类所有满足 meo(G) ≥ n/4 的本生群 G 的可能根基类型，识别出 Alt(m)^ℓ 与 PSL_d(q)^ℓ 在子空间或点的元组上的自然作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非交错根基 T 的有限几乎单群 G，meo(G) 关于 m(T) 的最佳可能上界是什么？
• RQ2 对于哪些有限非交换单群 T，有 meo(Aut(T)) > m(T)/4，且此类例外群的数量是多少？
• RQ3 哪些次数为 n 的本生置换群包含阶至少为 n/4 的元素，其根基结构如何？
• RQ4 能否将上界 meo(G) ≤ m(T) 改进为对所有但有限多个非交错、非 PSL_d(q) 群有 meo(G) ≤ m(T)/4？
• RQ5 最大的 ℓ 是多少，使得半直积 T ≀ Sym(ℓ) 允许阶至少为 n/4 的元素，其中 n = m^ℓ？

主要发现

• 对所有但有限多个非交错有限单群 T，Aut(T) 中的最大元素阶至多为 m(T)，且在 PSL_d(q) 的所有但两个 (d,q) 对外均取等号。
• 对所有但12个例外单群 T，上界可改进为 meo(Aut(T)) < m(T)/4，例外群列于表1中。
• 对于 T = PSU_4(q)，有 meo(Aut(T)) = q^3 + 1，其增长速度超过 m(T)^{3/4 - ε} 对任意 ε > 0 和大 q 成立，表明该上界在 ε 范围内是紧的。
• 所有满足 meo(G) ≥ n/4 的本生置换群 G（次数为 n）的根基同构于 Alt(m)^ℓ、PSL_d(q)^ℓ 或初等阿贝尔群，其作用为在子空间或点的元组上的自然作用。
• 对每个 T，满足 G = T ≀ Sym(ℓ) 且 meo(G) ≥ n/4 的最大 ℓ_T 有限，其中 ℓ_T = 4 对于 Alt(7)，ℓ_T = 3 对于 Alt(5)，ℓ_T = 1 对于 HS 及其他散在群。
• 表6 列出了22个单群的 ℓ_T 与对应 m 的显式值，使得 n = m^ℓ 且 meo(G) ≥ n/4，包括 Alt(m)、M11、M12、M22、M23、M24 及各类 PSL_d(q)、PSU_d(q) 与 PSp 群。