[论文解读] On the Maximum Sigma Index of k-Cyclic Graphs

Akbar Ali, Abeer M. Albalahi+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2022

Graph theory and applications被引用 4

一句话总结

该论文确定了阶为 $n$ 的连通 $k$-圈图中使 sigma 指数 $\sigma(G) = \sum_{uv\in E(G)}(d_u - d_v)^2$ 最大的图。通过基于度数的优化与图变换技术，作者证明了图 $H_{n,k}$——由将一个星图 $S_n$ 的 $k$ 个悬挂顶点与一个中心顶点相连形成——在 $0 \leq k \leq n-2$ 且 $n \geq 4$ 时唯一达到最大 sigma 指数。最大值为 $\sigma(H_{n,k}) = (n-1)(n-2)^2 - 2k(2n-5) + k^2(k-1)$。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph with edge set $E(G)$. Denote by $d_w$ the degree of a vertex $w$ of $G$. The sigma index of $G$ is defined as $\sum_{uv\in E(G)}(d_u-d_v)^2$. A connected graph of order $n$ and size $n+k-1$ is known as a connected $k$-cyclic graph. Abdo, Dimitrov, and Gutman [Discrete Appl. Math. 250 (2018) 57-64] characterized the graphs having the greatest sigma index over the family of all connected graphs of a fixed order. The primary goal of the present note is to determine graphs possessing the greatest sigma index from the class of all connected $k$-cyclic graphs of a fixed order.

研究动机与目标

• 确定阶为固定值 $n$ 的连通 $k$-圈图中使 sigma 指数 $\sigma(G)$ 最大的图。
• 将先前关于一般连通图中最大 sigma 指数的结果推广至更受限制的 $k$-圈图类。
• 刻画在 $k$-圈图族中实现最大 $\sigma(G)$ 的极值图结构。
• 建立以 $n$ 和 $k$ 表示的最大 sigma 指数的闭式表达式。

提出的方法

• 使用数学归纳法证明图大小为 $m$ 时 sigma 指数的基础不等式。
• 应用基于度数的图变换技术，通过重新定位边以最大化度数差异来增加 $\sigma(G)$。
• 将最大度数 $\Delta(G) < n-1$ 的图 $G$ 变换为最大度数 $\Delta(G^*) = n-1$ 的图 $G^*$，同时增加 $\sigma(G)$。
• 通过度数偏移将 $\sigma(G)$ 分解为来自中心顶点和剩余图 $G - v$ 的贡献。
• 应用关于第一 Zagraber 指数 $M_1(G)$ 和星形子图中 sigma 指数的已知不等式。
• 通过引理 1 和引理 3 的代入与等式条件，推导出上界 $\sigma(G) \leq (n-1)(n-2)^2 - 2k(2n-5) + k^2(k-1)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 阶为 $n$ 的连通 $k$-圈图中，哪一种图使 sigma 指数 $\sigma(G)$ 最大？
• RQ2 阶为 $n$ 的 $k$-圈图的最大 sigma 指数的确切值是什么？
• RQ3 在什么结构条件下，$\sigma(G)$ 的上界等式成立？
• RQ4 从度数分布的角度来看，极值图 $H_{n,k}$ 与其他 $k$-圈图有何不同？

主要发现

• 图 $H_{n,k}$，即通过将星图 $S_n$ 的 $k$ 个悬挂顶点连接到一个中心顶点形成，是在所有阶为 $n$ 的连通 $k$-圈图中唯一实现最大 sigma 指数的图。
• 最大 sigma 指数由闭式表达式 $\sigma(H_{n,k}) = (n-1)(n-2)^2 - 2k(2n-5) + k^2(k-1)$ 给出，其中 $0 \leq k \leq n-2$ 且 $n \geq 4$。
• 当且仅当由 $G - v$（其中 $v$ 为全连接顶点）导出的子图同构于星图 $S_{k+1}$ 加上 $n-k-2$ 个孤立顶点时，$\sigma(G)$ 的上界等式成立。
• 极值图 $H_{n,k}$ 是唯一实现最大 $\sigma(G)$ 的连通 $k$-圈图，从而确立了最大化者的唯一性。
• 该证明依赖于通过边重排将任意非极值 $k$-圈图变换为 $H_{n,k}$，且此过程严格增加 $\sigma(G)$，从而确认了最优性。