[论文解读] On the Mean Connected Induced Subgraph Order of Cographs

Matthew E. Kroeker, Lucas Mol+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2017

Graph theory and applications参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文确定了使连通诱导子图平均阶数极值化的极值cograph。对于阶 $ n \geq 7 $ 的连通cograph，星图 $ K_{1,n-1} $ 使连通诱导子图的平均阶数最大化，而 $ n $-煎锅图 $ K_1 + (K_1 \cup K_{n-2}) $ 使之最小化。cograph的密度（平均阶数除以 $ n $）渐近趋近于 $ 1/2 $，且任意顶点的局部平均值始终不小于全局平均值。

ABSTRACT

In this article the extremal structures for the mean order of connected induced subgraphs of cographs are determined. It is shown that among all connected cographs of order $n \ge 7$, the star $K_{1,n-1}$ has maximum mean connected induced subgraph order, and for $n \ge 3$, the $n$-skillet, $K_1+(K_1 \cup K_{n-2})$, has minimum mean connected induced subgraph order. It is deduced that the density for connected cographs (i.e. the ratio of the mean to the order of the graph) is asymptotically $1/2$. The mean order of all connected induced subgraphs containing a given vertex $v$ of a cograph $G$, called the local mean of $G$ at $v$, is shown to be at least as large as the mean order of all connected induced subgraphs of $G$, called the global mean of $G$.

研究动机与目标

• 确定阶为 $ n $ 的cograph，使其连通诱导子图的平均阶数达到极值。
• 刻画产生最大和最小连通诱导子图平均阶数的连通cograph的结构。
• 分析cograph中局部平均值（在顶点处）与全局平均值（整体）之间的关系。
• 建立连通cograph的渐近密度，定义为平均子图阶数与图阶数的比值。
• 研究每个顶点的局部平均值是否总是不小于全局平均值，并测试该性质在cograph之外的推广性。

提出的方法

• 作者使用连通诱导子图多项式 $ \Phi_G(x) = \sum_{k=1}^n a_k(G) x^k $，其中 $ a_k(G) $ 表示阶为 $ k $ 的连通诱导子图的数量。
• 全局平均值 $ M_G $ 通过对数导数 $ \Phi_G'(1)/\Phi_G(1) $ 计算得出，表示连通诱导子图的平均阶数。
• 顶点 $ v $ 处的局部平均值 $ M_{G,v} $ 由局部子图多项式 $ \Phi_{G,v}(x) $ 推导得出，该多项式统计包含 $ v $ 的连通诱导子图。
• 利用cograph的结构特性进行分解：cograph通过不相交并 $ G_1 \cup G_2 $ 和连接 $ G_1 + G_2 $ 递归构建，从而支持归纳论证。
• 使用具有非负系数的多项式之和的对数导数作为凸组合工具，用于比较子图之间的平均值。
• 采用 $ M^* $-平均值，即非平凡连通诱导子图的平均阶数，用于分析阶至少为2的子图。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阶 $ n \geq 7 $ 的连通cograph，哪一个图使其中连通诱导子图的平均阶数最大？
• RQ2 对于阶 $ n \geq 3 $ 的连通cograph，哪一个图使其中连通诱导子图的平均阶数最小？
• RQ3 连通cograph中每个顶点的局部平均值是否总是不小于全局平均值？
• RQ4 当 $ n \to \infty $ 时，连通cograph的密度 $ M_G / n $ 的渐近行为如何？
• RQ5 局部平均值 ≥ 全局平均值的性质是否适用于所有连通图，还是仅限于cograph和树等特定家族？

主要发现

• 对于 $ n \geq 7 $，星图 $ K_{1,n-1} $ 在所有阶为 $ n $ 的连通cograph中实现了连通诱导子图平均阶数的最大值。
• 对于 $ n \geq 3 $，$ n $-煎锅图 $ K_1 + (K_1 \cup K_{n-2}) $ 在所有阶为 $ n $ 的连通cograph中实现了连通诱导子图平均阶数的最小值。
• 任意连通cograph的密度 $ M_G / n $ 满足 $ \frac{1}{2} < \frac{M_G}{n} \leq \frac{n+1}{2n} $，且当 $ n \to \infty $ 时渐近趋近于 $ \frac{1}{2} $。
• 在每个连通cograph中，每个顶点的局部平均值均不小于全局平均值，而这一性质在所有连通图中并不成立。
• 任意顶点 $ v $ 的局部平均值始终不小于全局平均值，且该不等式严格成立，除非 $ n = 1 $。
• 在所有连通图中（而不仅限于cograph），使连通诱导子图平均阶数最大的极值图在 $ n \leq 9 $ 时并非树，而是2-连通图，如 $ \Theta_{i,j,k} $-图和笛卡尔积如 $ P_3 \square P_3 $。