[论文解读] On the mean stability of a class of switched linear systems

Masaki Ogura, Clyde F. Martin|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 17被引用 3

一句话总结

该论文利用 L^p-范数联合谱半径，建立了离散时间随机切换线性系统 p 阶矩稳定性与 p 次齐次 Lyapunov 函数存在的等价性。进一步表明，当 p→∞ 时，p 阶矩稳定性收敛于关联的确定性切换系统的绝对渐近稳定性，并通过矩阵谱半径条件为马尔可夫切换系统提供了可计算的表征。

ABSTRACT

This paper investigates the mean stability of a class of discrete-time stochastic switched linear systems using the $L^p$-norm joint spectral radius of the probability distributions governing the switched systems. First we prove a converse Lyapunov theorem that shows the equivalence between the mean stability and the existence of a homogeneous Lyapunov function. Then we show that, when $p$ goes to $\infty$, the stability of the $p$th mean becomes equivalent to the absolute asymptotic stability of an associated deterministic switched system. Finally we study the mean stability of Markovian switched systems. Numerical examples are presented to illustrate the results.

研究动机与目标

• 建立一个逆 Lyapunov 定理，将 p 阶矩稳定性与 p 次齐次 Lyapunov 函数的存在性联系起来。
• 研究当 p→∞ 时 p 阶矩稳定性的极限行为，并将其与关联的确定性切换系统的绝对渐近稳定性相联系。
• 在不变性假设下，将稳定性表征扩展至马尔可夫切换系统。
• 通过线性矩阵不等式或特征值问题，提供一种可计算的 p 阶矩稳定性准则。

提出的方法

• 引入 L^p-范数联合谱半径作为分析随机切换线性系统 p 阶矩稳定性的关键工具。
• 证明了一个逆 Lyapunov 定理，表明在温和的不变性条件下，p 阶矩稳定性等价于存在一个 p 次齐次 Lyapunov 函数。
• 推导出极限等价关系：当 p→∞ 时，p 阶矩稳定性等价于关联的确定性切换系统的绝对渐近稳定性。
• 通过克罗内克积和转移概率构造一个大小为 Nd^p × Nd^p 的矩阵 T_p，以计算谱半径 ρ(T_p)，该谱半径表征了 p 阶矩稳定性。
• 通过定义状态轨迹上的线性算子 L 并将其谱性质与联合谱半径关联，将该框架应用于马尔可夫切换系统。
• 利用推论 V.3 计算 ρ_p,A = ρ(T_p)^{1/p}，用于实际稳定性检验，从而可通过标准特征值求解器实现数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机切换线性系统的 p 阶矩稳定性是否等价于存在一个 p 次齐次 Lyapunov 函数？
• RQ2 当 p→∞ 时，p 阶矩稳定性的极限行为如何？其与确定性切换系统稳定性的关系是什么？
• RQ3 在不变性假设下，能否通过 L^p-范数联合谱半径表征马尔可夫切换系统的 p 阶矩稳定性？
• RQ4 稳定性条件能否简化为一个结构化矩阵 T_p 上的可计算谱半径条件？
• RQ5 能否基于所提出的框架系统地设计马尔可夫切换系统的稳定反馈增益？

主要发现

• 对于一般的偶数 p，p 阶矩稳定性等价于存在一个 p 次齐次 Lyapunov 函数，且在特定不变性条件下，该等价性对一般 p 也成立。
• 当 p→∞ 时，p 阶矩稳定性等价于关联的确定性切换系统的绝对渐近稳定性，扩展了关于联合谱半径极限的已知结果。
• 对于马尔可夫切换系统，p 阶矩稳定性由 ρ_p,A < 1 表征，这等价于 ρ(T_p) < 1，其中 T_p 是由转移概率和系统矩阵导出的克罗内克结构矩阵。
• 谱半径 ρ_p,A 可计算为 ρ(T_p)^{1/p}，从而可通过标准特征值求解器实现高效数值计算。
• 数值结果表明，当反馈增益 f = [0.36, 0.50] 时，三模马尔可夫系统的首阶矩稳定性得以实现，且 ρ_1,A+bf = 0.9554 < 1。
• 样本路径显示了稳定化效果：原始系统（虚线）发散，而受控系统（实线）在期望下收敛至零，验证了理论结果。