[论文解读] On the meaning of mean shape

Stephan Huckemann|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2010

Morphological variations and asymmetry参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文在较弱的分布条件下，为非流形形状空间（如Kendall的3D形状空间）上的内在均值和Ziezold均值建立了流形稳定性，从而支持有效的两样本假设检验。研究显示，Procrustes（Procrustean）均值缺乏这种稳定性，通过低浓度情况下的反例得到验证；并推导出内在均值、残差均值与外在均值之间的一阶关系，表明在高浓度下，Ziezold均值近似将连接内在均值与Procrustean均值的测地线段分为1:3的比例。

ABSTRACT

Various concepts of mean shape previously unrelated in the literature are brought into relation. In particular for non-manifolds such as Kendall's 3D shape space, this paper answers the question, for which means one may apply a two-sample test. The answer is positive if intrinsic or Ziezold means are used. The underlying general result of manifold stability of a mean on a shape space, the quotient due to an isometric action of a compact Lie group on a Riemannian manifold, blends the Slice Theorem from differential geometry with the statistics of shape. For 3D Procrustes means, however, a counterexample is given. To further elucidate on subtleties of means, for spheres and Kendall's shape spaces, a first order relationship between intrinsic, residual/Procrustean and extrinsic/Ziezold means is derived stating that for high concentration the latter approximately divides the (generalized) geodesic segment between the former two by the ratio $1:3$. This fact, consequences of coordinate choices for the power of tests and other details, e.g. that extrinsic Schoenberg means may increase dimension are discussed and illustrated by simulations and exemplary datasets.

研究动机与目标

• 解决形状分析中长期存在的模糊问题：在非流形形状空间上，何种均值形状可支持有效的两样本假设检验。
• 澄清形状空间（尤其是3D空间）中内在均值、外在均值（Ziezold）与残差均值（Procrustean）之间的关系。
• 建立均值形状保持在形状空间流形部分的条件，以确保中心极限定理和统计推断的适用性。
• 证明在低浓度下，Procrustean均值会丧失流形稳定性，从而使标准两样本检验失效。
• 通过泰勒展开推导出三种均值类型之间的一阶渐近关系，表明在高浓度下，Ziezold均值位于从内在均值到Procrustean均值的测地线段约1/4处。

提出的方法

• 利用微分几何中的截面定理，将形状空间分布的可测水平提升构造到预形状流形上，以实现对均值稳定性的分析。
• 应用管状邻域和截面的概念，定义最优位置提升，这对证明流形稳定性至关重要。
• 利用黎曼指数映射及其逆，将内在均值表示为涉及切向量的积分方程的零点。
• 引入商形状空间（排除切点集）的可测水平提升概念至预形状空间，以确保统计一致性。
• 通过反证法，利用其他提升方式（如通过群作用g）证明，在条件1.2下，内在均值与Ziezold均值必须位于流形部分。
• 利用指数映射的泰勒展开，推导出内在均值、Procrustean均值与Ziezold均值之间的一阶渐近关系，表明在高浓度下，Ziezold均值将测地线段按1:3比例分割。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可对非流形形状空间上的均值形状严格应用两样本假设检验？
• RQ2 为何Procrustean均值会丧失流形稳定性，而内在均值与Ziezold均值则能保持？
• RQ3 在高浓度下，形状空间中内在均值、Procrustean均值与外在（Ziezold）均值之间的渐近关系为何？
• RQ4 坐标选择与维度如何影响形状均值统计检验的功效？
• RQ5 在闭平面曲线形状空间中，非圆曲线的内在均值能否为圆？考虑到其在形状空间中的奇异非流形性质。

主要发现

• 在条件1.2下，内在均值与Ziezold均值具有流形稳定性，该条件要求非流形部分上至多有可数个点质量，从而确保它们以概率1位于流形部分。
• 一般情况下，Procrustean均值不具有流形稳定性；文中提供了一个反例，表明在低浓度下，其均值可能落在非流形部分，导致标准两样本检验失效。
• 在高浓度下，Ziezold均值近似将连接内在均值与Procrustean均值的测地线段按1:3比例分割，该结论通过指数映射的一阶泰勒展开推导得出。
• 由于其奇异且非流形的性质，圆的形状不能是非闭平面曲线的内在均值。
• 外在Schoenberg均值可能增加形状空间的有效维度，这是嵌入几何的结果，可能影响统计推断。
• 本文为从形状空间到预形状空间的水平提升提供了严格的框架，使中心极限定理和统计推断可推广至非流形形状空间。